Exercício 15. Determine se a reta r:lx=1+2 t y=-3 t z=t é paralela ao plano pi: 5 x+2 y-4 z-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x = 1 + 2t, y = -3t, z = t
e o plano
pi:5x+2y-4z-1=0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para checar se uma reta é paralela a um plano, basta ver se o vetor direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Extraímos o vetor direção da reta e o vetor normal do plano.
v = (2,,-3,,1), n = (5,,2,,-4)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vcdot n:
vcdot n = 2cdot5 + (-3)cdot2 + 1cdot(-4) = 10 - 6 - 4 = 0
Como vcdot n=0, o vetor direção é perpendicular ao normal, logo a reta é paralela ao plano (ou pode estar contida nele).

Passo 4

Para garantir que a reta não está contida no plano, basta testar um ponto de r. Para t=0 temos P=(1,0,0). Substituindo em pi:
5cdot1 + 2cdot0 - 4cdot0 - 1 = 4 neq 0
Como Pnotinpi, a reta não está dentro do plano, apenas é paralela a ele.

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi.

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