Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço
.
e
;
Passo 1
O enunciado dá quatro polinômios em
:
,
,
e
.
Queremos o menor número de geradores do subespaço .
Conteúdo: dimensão de subespaços de e teste de independência linear por coordenadas.
Queremos o menor número de geradores do subespaço
Conteúdo: dimensão de subespaços de
Passo 2
Expressamos cada
no sistema canônico
, obtendo suas coordenadas em
:
Passo 3
Verificamos se
é combinação de
. Buscamos
tais que
Isso dá o sistema
Como
e
, a última equação vira
. Há solução, logo
isto é,
é dependente de
.
Passo 4
Mostramos que
é independente. Se
em coordenadas,
implica
,
e
. Só a solução trivial, logo são independentes e geram
.
Passo 5
Concluímos que
e que o menor número de vetores necessários para gerar
é 3.
Resposta
3