Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço [v1, v2, ldots, vn].
v1=t^2+1, v2=t+1, v3=2 t^2+1 e v4=2;

Passo 1

O enunciado dá quatro polinômios em P2:
v1=t^2+1,
v2=t+1,
v3=2t^2+1 e
v4=2.
Queremos o menor número de geradores do subespaço W=spanv1,v2,v3,v4.
Conteúdo: dimensão de subespaços de P2 e teste de independência linear por coordenadas.

Passo 2

Expressamos cada vi no sistema canônico t^2,,t,,1, obtendo suas coordenadas em R^3:
v1longmapsto(1,0,1), v2longmapsto(0,1,1), v3longmapsto(2,0,1), v4longmapsto(0,0,2)

Passo 3

Verificamos se v3 é combinação de v1,v2,v4. Buscamos a,b,c tais que
a,(1,0,1)+b,(0,1,1)+c,(0,0,2)=(2,0,1)
Isso dá o sistema
a=2, b=0, a+b+2c=1
Como a=2 e b=0, a última equação vira 2+2c=1Rightarrow c=-tfrac12. Há solução, logo
v3=2,v1+0,v2-tfrac12,v4,
isto é, v3 é dependente de v1,v2,v4.

Passo 4

Mostramos que v1,v2,v4 é independente. Se
alpha v1+beta v2+gamma v4=0
em coordenadas,
(alpha,beta,alpha+beta+2gamma)=(0,0,0)
implica alpha=0, beta=0 e 2gamma=0Rightarrowgamma=0. Só a solução trivial, logo são independentes e geram W.

Passo 5

Concluímos que dim W=3 e que o menor número de vetores necessários para gerar W é 3.

Resposta

3

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