Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço .
a) e ;
b) e v3=(ll0 & 1 0 & -1);
c) v1=t^2+1, v2=t+1, v3=2 t^2+1 e v4=2;
d) v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) e v4=(1,2,3).
Passo 1
O enunciado pede, em cada caso, o menor número de vetores necessário para gerar o mesmo subespaço dado pelos vetores v1,dots,vn. O conteúdo é teste de dependência linear e cálculo de dimensão do subespaço (rank). Vamos escrever coordenadas dos vetores num sistema conveniente, montar matrizes cujas colunas (ou linhas) sejam essas coordenadas e determinar a quantidade de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Item (a): em R^2 temos v1=(1,2), v2=(-1,-2)=-1cdot v1 e v3=(3,6)=3cdot v1.
Logo todos são múltiplos de v1 e o subespaço é de dimensão 1. O menor gerador tem 1 vetor.
Passo 3
Item (b): no espaço de matrizes 2times2, use a base E11,E12,E21,E22. As coordenadas são
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,2), v3=(0,1,0,-1)
Montando a matriz cujas colunas são esses vetores e calculando o posto, obtemos posto 2. Logo só precisamos de 2 vetores para gerar o mesmo subespaço.
Passo 4
Item (c): em P2 use a base t^2,t,1. As coordenadas são
v1=(1,0,1), v2=(0,1,1), v3=(2,0,1), v4=(0,0,2)
Formamos a matriz 3times 4 com essas colunas; seu posto é 3 (por exemplo v1,v2,v3 são LI). Logo a dimensão do subespaço é 3, e precisamos de 3 geradores.
Passo 5
Item (d): em R^3, v1,v2,v3 são os vetores canônicos e são LI, portanto já geram todo R^3. O vetor v4=(1,2,3) é combinação linear ,v1+2v2+3v3. Logo a dimensão é 3 e o menor número de geradores é 3.