Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e determine, caso seja possível, um intervalo em que ela existe.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial: $ y’ = (1 - 2x)y^2 $. O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO (Equação Diferencial Ordinária) e descobrir onde essa solução existe. Vamos usar o conteúdo de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde a variável $ y $ e $ x $ podem ser separadas em lados diferentes da equação. Precisaremos reorganizar a equação para separar $ y $ e $ x $ e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todas as partes que envolvem $ y $ fiquem de um lado e as que envolvem $ x $ fiquem do outro. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por $ y^2 $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro:
Agora, as variáveis estão separadas!
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A gente vai integrar em relação a $ y $ no lado esquerdo e em relação a $ x $ no lado direito:
Vamos fazer cada integral:
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 4
Agora, igualamos os resultados das integrais:
Podemos simplificar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Vamos resolver para $ y $:
Assim, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da EDO é $ y = \dfrac{-1}{x - x^{2} + C} $, onde $ C $ é uma constante arbitrária. Essa solução existe para todos os valores de $ x $ que não tornam o denominador zero, ou seja, onde $ x - x^{2} + C \neq 0 $.