Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e determine, caso seja possível, um intervalo em que ela existe.
y^2 raiz1-x^2 y^prime=arcosen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e verificar onde essa solução existe. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente resolução de EDOs. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^{2} $ e por $ dx $ para separar as variáveis $ y $ e $ x $:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo, que envolve $ y $:
y
A integral de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é:
integral y^2 , dy
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito, que envolve $ x $:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar $ u = \arcos(x) $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
x
Isso significa que $ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} $. Substituindo na integral, temos:
integral arcos(x)raiz1 - x^2 , dx
Voltando para $ x $, a integral fica:

Passo 5

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Vamos resolver para $ y $, isolando-o:
Onde $ C’ $ é uma nova constante de integração multiplicada por 3.

Passo 6

Finalmente, extraímos a raiz cúbica para encontrar $ y $:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Essa solução existe para todos os valores de $ x $ no intervalo $ -1 < x < 1 $, onde a função arco cosseno está definida.

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