Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e determine, caso seja possível, um intervalo em que ela existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e verificar onde essa solução existe. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente resolução de EDOs. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^{2} $ e por $ dx $ para separar as variáveis $ y $ e $ x $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo, que envolve $ y $:
A integral de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito, que envolve $ x $:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar $ u = \arcos(x) $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Isso significa que $ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} $. Substituindo na integral, temos:
Voltando para $ x $, a integral fica:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Vamos resolver para $ y $, isolando-o:
Onde $ C’ $ é uma nova constante de integração multiplicada por 3.
Passo 6
Finalmente, extraímos a raiz cúbica para encontrar $ y $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Essa solução existe para todos os valores de $ x $ no intervalo $ -1 < x < 1 $, onde a função arco cosseno está definida.