Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Dica: No item (f) faça a mudança de variável
Dica: No item (f) faça a mudança de variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
Aqui, a gente vai trabalhar com mudança de variável, usando $ z = \frac{y}{x} $. Isso vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar como fazer substituições e resolver EDOs usando essas técnicas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável que a dica sugere: $ z = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = z \cdot x $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $.
Passo 3
Calculando $ y’ $:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar $ y = z \cdot x $.
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Simplificando o numerador do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora temos uma equação para $ z’ $:
Vamos reescrever isso para separar as variáveis $ z $ e $ x $:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear $ 2C $ como simplesmente $ C $:
Passo 8
Lembrando que $ z = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por $ x^{2} $ para eliminar as frações:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.