Em cada item a seguir, resolva a EDO.
x y^prime-yx^2=x^3x-y
Dica: No item (f) faça a mudança de variável z=yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
x y^prime-yx^2 = x^3x - y
Aqui, a gente vai trabalhar com mudança de variável, usando $ z = \frac{y}{x} $. Isso vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução. Vamos precisar lembrar como fazer substituições e resolver EDOs usando essas técnicas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável que a dica sugere: $ z = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = z \cdot x $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $.

Passo 3

Calculando $ y’ $:
y'
Aqui, usamos a regra do produto para derivar $ y = z \cdot x $.

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y
Simplificando o numerador do lado esquerdo:
y'
Então, a equação fica:
x(z + x z') - z xx^2 = x^3x - z x

Passo 5

Agora temos uma equação para $ z’ $:
z'
Vamos reescrever isso para separar as variáveis $ z $ e $ x $:
z' = x^21 - z

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral (1 - z) dz = integral x^2 dx
Calculando as integrais:
integral 1 , dz - integral z , dz = integral x^2 , dx implies z - z^22 = x^33 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
2z - z^2 = 2x^33 + 2C
Podemos renomear $ 2C $ como simplesmente $ C $:
2C

Passo 8

Lembrando que $ z = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
z = yx
Multiplicando tudo por $ x^{2} $ para eliminar as frações:
(yx)^2 - 2(yx) + 2x^33 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 - 2xy + 2x^53 = Cx^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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