Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e determine, caso seja possível, um intervalo em que ela existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisa encontrar a solução geral dela, além de identificar um intervalo onde essa solução existe. A equação que estamos trabalhando é:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Multiplicando ambos os lados por $ x $ e por $ y^3 $, temos:
Lembrando que $ y’ = \frac{dy}{dx} $, podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos envolvendo $ y $ de um lado e os de $ x $ do outro.
Passo 3
Separate as variáveis multiplicando ambos os lados por $ y^3 $ e dividindo por $ dx $:
Agora, cada lado da equação tem apenas variáveis de uma das duas funções, o que facilita a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Simplificando:
Igualando as integrais (e combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só constante $ C $):
Passo 5
Podemos simplificar a expressão multiplicando todos os termos por 4 para facilitar:
Podemos chamar $ 4C $ de simplesmente $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
Para encontrar $ y $, tiraríamos a raiz quarta de ambos os lados, mas geralmente deixamos a solução nessa forma implícita.
Resposta
A solução geral da EDO é
onde $ C $ é uma constante arbitrária. Essa solução existe para todos os valores de $ x $ reais.