Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e determine, caso seja possível, um intervalo em que ela existe.
y^primex=x^2+14 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisa encontrar a solução geral dela, além de identificar um intervalo onde essa solução existe. A equação que estamos trabalhando é:
y'x = x^2+14 y^3
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Multiplicando ambos os lados por $ x $ e por $ y^3 $, temos:
y
Lembrando que $ y’ = \frac{dy}{dx} $, podemos reescrever a equação como:
x
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos envolvendo $ y $ de um lado e os de $ x $ do outro.

Passo 3

Separate as variáveis multiplicando ambos os lados por $ y^3 $ e dividindo por $ dx $:
y^3
Agora, cada lado da equação tem apenas variáveis de uma das duas funções, o que facilita a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
integral y^3 dy = y^44 + C1
E integrando o lado direito:
integral x(x^2 + 1)4 dx = 14 integral (x^3 + x) dx = 14 ( x^44 + x^22 ) + C2
Simplificando:
14 ( x^44 + x^22 ) = x^416 + x^28
Igualando as integrais (e combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma só constante $ C $):
C1

Passo 5

Podemos simplificar a expressão multiplicando todos os termos por 4 para facilitar:
y^4 = x^44 + x^22 + 4C
Podemos chamar $ 4C $ de simplesmente $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
4C
Para encontrar $ y $, tiraríamos a raiz quarta de ambos os lados, mas geralmente deixamos a solução nessa forma implícita.

Resposta

A solução geral da EDO é
y^4 = x^44 + x^22 + C
onde $ C $ é uma constante arbitrária. Essa solução existe para todos os valores de $ x $ reais.

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