Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
i) y=8 \sqrt{x} e y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região planar limitada pelas curvas
y = 8\sqrt{x}
e
y = x^{2}.
O conteúdo é “cálculo de área entre duas curvas”: vamos primeiro achar os pontos de interseção, depois verificar qual função fica acima da outra e, por fim, usar a integral definida para calcular a área.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se encontram, igualamos
8\sqrt{x} = x^{2}.
Como estamos interessados em x\ge0, podemos elevar ao quadrado:
64\,x = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{4} - 64\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(x^{3}-64)=0.
Isso dá x=0 ou x^{3}=64, logo x=4. Os pontos de interseção são
(0,\,0)\quad\text{e}\quad(4,\,16).

Passo 3

Para 0\le x\le4, comparemos
y_{1}=8\sqrt{x} \quad\text{e}\quad y_{2}=x^{2}.
Em x=1 temos 8\sqrt{1}=8 e 1^{2}=1, logo 8\sqrt{x}\ge x^{2} nesse intervalo. Portanto, a fronteira superior da região é y=8\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}.

Passo 4

A área procurada é
\int_{x=0}^{4}\bigl(8\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.
Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{4}8\,x^{\tfrac12}\,dx \;-\; \int_{0}^{4}x^{2}\,dx.
Calculando cada uma:
\int_{0}^{4}8\,x^{\tfrac12}\,dx =8\cdot \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\Big|_{0}^{4} =\frac{16}{3}\,4^{\tfrac32} =\frac{16}{3}\cdot 8 =\frac{128}{3},
\int_{0}^{4}x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} =\frac{64}{3}.
Subtraindo, a área fica
\frac{128}{3}-\frac{64}{3} =\frac{64}{3}.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é \displaystyle \frac{64}{3} unidades de área.

Exercícios relacionados