Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
i) y=8 \sqrt{x} e y=x^{2}
Passo 1
O enunciado pede a área da região planar limitada pelas curvas
y = 8\sqrt{x}
e
y = x^{2}.
O conteúdo é “cálculo de área entre duas curvas”: vamos primeiro achar os pontos de interseção, depois verificar qual função fica acima da outra e, por fim, usar a integral definida para calcular a área.
Passo 2
Para achar os pontos em que as curvas se encontram, igualamos
8\sqrt{x} = x^{2}.
Como estamos interessados em x\ge0, podemos elevar ao quadrado:
Isso dá x=0 ou x^{3}=64, logo x=4. Os pontos de interseção são
(0,\,0)\quad\text{e}\quad(4,\,16).
Passo 3
Para 0\le x\le4, comparemos
y_{1}=8\sqrt{x} \quad\text{e}\quad y_{2}=x^{2}.
Em x=1 temos 8\sqrt{1}=8 e 1^{2}=1, logo 8\sqrt{x}\ge x^{2} nesse intervalo. Portanto, a fronteira superior da região é y=8\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}.