(valor: 2,0 ) Calcule \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, em que R é a regiāo limitada pelo retângulo de vértices (0,0),(\pi, 0),\left(\pi, \frac{\pi}{2}\right) e \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA
em que R é o retângulo com 0\le x\le \pi e 0\le y\le \tfrac\pi2.
O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e integrais de funções seno.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini escrevemos
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA =\int_{y=0}^{\pi/2}\!\Bigl[\int_{x=0}^{\pi}y\,\operatorname{sen}(xy)\,dx\Bigr]\,dy.

Passo 3

Dentro dos colchetes, y é constante em relação a x, logo
\int_{x=0}^{\pi}y\,\operatorname{sen}(xy)\,dx =y\;\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(xy)\,dx.
Fazendo a substituição u=xy, du=y\,dx, obtemos
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(xy)\,dx =\frac1y\bigl[-\cos(xy)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac1y\bigl[-\cos(\pi y)+\cos(0)\bigr] =\frac{1-\cos(\pi y)}{y}.
Multiplicando por y volta a dar
y\;\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(xy)\,dx =1-\cos(\pi y).

Passo 4

Agora resta integrar em y:
\int_{0}^{\pi/2}\bigl[1-\cos(\pi y)\bigr]\,dy =\int_{0}^{\pi/2}1\,dy \;-\;\int_{0}^{\pi/2}\cos(\pi y)\,dy.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi/2}1\,dy=\frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\pi/2}\cos(\pi y)\,dy =\Bigl[\frac{\sin(\pi y)}{\pi}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\sin\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr)}{\pi}.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\bigl[1-\cos(\pi y)\bigr]\,dy =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr).

Resposta

\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}\bigr).

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