Determine as integrais indefinidas:
\int x\left(x^{2}+2\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\bigl(x^{2}+2\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, onde identificamos uma função composta cujo derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+2,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x\,(x^{2}+2)^{2}\,dx = \int u^{2}\,\bigl(x\,dx\bigr) = \int u^{2}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{2}\int u^{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3} = \frac{u^{3}}{6} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x usando u = x^{2}+2, a primitiva fica
\frac{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{3}}{6}+C.

Resposta

\int x\bigl(x^{2}+2\bigr)^{2}\,dx = \frac{(x^{2}+2)^{3}}{6}+C.

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