Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime=x y, Phi(x)=c e^x^22.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função Phi(x)=c,e^tfracx^22 é solução da EDO y'=x,y em um intervalo aberto apropriado. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem (separáveis) e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar a exponencial.

Passo 2

Como e^tfracx^22 está bem definida e é diferenciável para todo xinR, podemos escolher o intervalo aberto I=R. Nesse intervalo, Phi é contínua e diferenciável.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de Phi(x). Aplicando a regra da cadeia temos
Phi'(x)=cddxl(e^tfracx^22r)=c,e^tfracx^22cdotddxl(tfracx^22r)=c,e^tfracx^22cdot x = c,x,e^tfracx^22

Passo 4

Agora verificamos a EDO: o lado direito é
x,Phi(x)=xl(c,e^tfracx^22r)=c,x,e^tfracx^22,
e o lado esquerdo é exatamente Phi'(x)=c,x,e^tfracx^22. Então
Phi'(x)=x,Phi(x)
em todo xinR.

Passo 5

Portanto, em I=R, Phi(x)=c,e^tfracx^22 satisfaz a EDO y'=x,y.

Resposta

Intervalo aberto adequado: I=ℝ. A função Φ(x)=c e^{x²/2} satisfaz Φ’(x)=x Φ(x), logo é solução da EDO em ℝ.

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