Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto
apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
é solução da EDO
em um intervalo aberto apropriado. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem (separáveis) e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Passo 2
Como
está bem definida e é diferenciável para todo
, podemos escolher o intervalo aberto
. Nesse intervalo,
é contínua e diferenciável.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Aplicando a regra da cadeia temos
Passo 4
Agora verificamos a EDO: o lado direito é
e o lado esquerdo é exatamente
. Então
em todo
.
Passo 5
Portanto, em
,
satisfaz a EDO
.
Resposta
Intervalo aberto adequado: I=ℝ. A função Φ(x)=c e^{x²/2} satisfaz Φ’(x)=x Φ(x), logo é solução da EDO em ℝ.