Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
x y^prime+3 y=6 x^3, Phi(x)=x^3+cx^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função Phi(x)=x^3+tfraccx^3 resolve a EDO x y'+3y=6x^3 em algum intervalo aberto I. Isso envolve uma EDO linear de 1ª ordem, cujo fator integrante é mu(x)=x^3 e que exige xneq0.

Passo 2

Vamos escolher um intervalo onde x não zere, por exemplo I=(0,infty). Nesse intervalo o fator integrante x^3 é bem definido e invertível.

Passo 3

Calculamos a derivada de Phi: Phi'(x)=3x^2-3c,x^-4.

Passo 4

Substituímos na EDO:
x,Phi'(x)+3,Phi(x) =xl(3x^2-3c x^-4r)+3l(x^3+cx^-3r) =3x^3-3c x^-3+3x^3+3c x^-3 =6x^3
que coincide com o lado direito da EDO.

Passo 5

Logo, Phi(x)=x^3+tfraccx^3 satisfaz x y'+3y=6x^3 em qualquer intervalo aberto sem o zero, por exemplo I=(0,infty).

Resposta

A função Phi(x)=x^3+tfraccx^3 satisfaz a EDO x y'+3y=6x^3 em qualquer intervalo aberto que não contenha x=0, por exemplo I=(0,infty).

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