Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
x y^prime-3 y=0, Phi(x)=c x^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função Phi(x)=c,x^3 resolve a EDO de primeira ordem x,y'-3y=0. O conteúdo é verificar soluções de EDOs lineares homogêneas e vamos precisar de derivar Phi e substituir na equação, escolhendo um intervalo onde tudo faça sentido (evitando x=0).

Passo 2

Como a EDO tem termo x,y', não podemos ter x=0. Logo escolhemos um intervalo aberto que não contenha zero, por exemplo I=(0,infty) (ou, alternativamente, I=(-infty,0)).

Passo 3

Calculamos a derivada de Phi em I:
Phi'(x)=ddxl(c,x^3r)=3c,x^2

Passo 4

Substituímos na EDO:
x,Phi'(x)-3,Phi(x)=x,(3c,x^2)-3,(c,x^3)=3c,x^3-3c,x^3=0
Isso mostra que a equação é satisfeita para todo xin I.

Resposta

A função Phi(x)=c,x^3 é solução de x,y'-3y=0 em qualquer intervalo aberto que não contenha zero, por exemplo I=(0,infty) (ou (-infty,0)).

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