Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y y^prime=-x, y=Phi(x) é dada implicitamente pela equação x^2+y^2=5.

Passo 1

Estamos diante da EDO y,y'=-x e a solução vem implicitamente pela curva x^2+y^2=5. Vamos usar derivação implícita para verificar que qualquer ramo dessa curva satisfaz a EDO.

Passo 2

Da equação x^2+y^2=5 isolamos y:
y=pmraiz5-x^2
Cada ramo só faz sentido quando o radicando é positivo, isto é 5-x^2>0. Portanto o intervalo natural é
I=(-raiz5,,raiz5). Nesse intervalo temos y(x)=raiz5-x^2 ou y(x)=-raiz5-x^2, ambas são C^1.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente x^2+y^2=5:
2x+2y,y'=0
Logo
y,y'=-x
Isso mostra que qualquer ramo escolhido satisfaz exatamente a EDO no intervalo.

Passo 4

Restou apenas confirmar que y(x) e y'(x) são contínuas em I, o que é verdade pois são compostas por raízes e quocientes bem definidos em (-raiz5,raiz5).

Resposta

Um intervalo apropriado é I=(-raiz5,,raiz5), onde as funções y(x)=pmraiz5-x^2 são C^1 e satisfazem y,y'=-x em I.

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