Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto
apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em
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Passo 1
O enunciado pede para escolher um intervalo aberto I em que a função Φ(x)=\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}\ln(1+5x)+13 seja solução da EDO de segunda ordem 2x²y’’ - (y’)² = 0. O conteúdo aqui é verificar que uma dada função satisfaz uma equação diferencial e identificar um intervalo onde tudo está bem definido (coeficientes e domínio do ln).
Passo 2
Para a EDO 2x²y’’ - (y’)² = 0 precisamos que x≠0 (senão o coeficiente 2x² some) e que o ln(1+5x) exista, ou seja 1+5x>0 ⇒ x> -1/5. Juntando essas duas condições, o maior intervalo aberto que evita x=0 e garante 1+5x>0 é I = (0, ∞).
Passo 3
Vamos calcular y’(x). Temos Φ(x)=\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}\ln(1+5x)+13. Derivando em relação a x e usando regra da cadeia no ln(1+5x):
- A derivada de \frac{2}{5}x é \frac{2}{5}.
- A derivada de -\frac{2}{25}\ln(1+5x) é -\frac{2}{25}·\frac{5}{1+5x} = -\frac{2}{5(1+5x)}.
Somando,
Passo 4
Agora calculamos y’’(x). Escrevendo y’ como 2x·(1+5x)^{-1} e usando regra do produto e cadeia:
Passo 5
Fazendo denominador comum (1+5x)² no segundo termo do primeiro somando-se ao segundo termo, obtemos:
Passo 6
Por fim, substituímos na EDO:
Passo 7
Como obtivemos 0=0, Φ satisfaz a EDO em I e todas as funções usadas estão bem definidas em I.
Resposta
Um intervalo apropriado é I = (0, ∞), e Φ(x) é solução da EDO nesse intervalo.