Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
2 x^2 y^prime prime-(y^prime)^2=0, Phi(x)=25 x-225 ln (1+5 x)+13.

Passo 1

O enunciado pede para escolher um intervalo aberto I em que a função Φ(x)=\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}\ln(1+5x)+13 seja solução da EDO de segunda ordem 2x²y’’ - (y’)² = 0. O conteúdo aqui é verificar que uma dada função satisfaz uma equação diferencial e identificar um intervalo onde tudo está bem definido (coeficientes e domínio do ln).

Passo 2

Para a EDO 2x²y’’ - (y’)² = 0 precisamos que x≠0 (senão o coeficiente 2x² some) e que o ln(1+5x) exista, ou seja 1+5x>0 ⇒ x> -1/5. Juntando essas duas condições, o maior intervalo aberto que evita x=0 e garante 1+5x>0 é I = (0, ∞).

Passo 3

Vamos calcular y’(x). Temos Φ(x)=\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}\ln(1+5x)+13. Derivando em relação a x e usando regra da cadeia no ln(1+5x):
  • A derivada de \frac{2}{5}x é \frac{2}{5}.
  • A derivada de -\frac{2}{25}\ln(1+5x) é -\frac{2}{25}·\frac{5}{1+5x} = -\frac{2}{5(1+5x)}.
    Somando,
y'(x)=25 - 25(1+5x) = 25l(1-11+5xr) = 2x1+5x

Passo 4

Agora calculamos y’’(x). Escrevendo y’ como 2x·(1+5x)^{-1} e usando regra do produto e cadeia:
y''(x)=2·(1+5x)^-1 + 2x·(-1)(1+5x)^-2·5 = 21+5x - 10x(1+5x)^2

Passo 5

Fazendo denominador comum (1+5x)² no segundo termo do primeiro somando-se ao segundo termo, obtemos:
y''(x)=2(1+5x)-10x(1+5x)^2 = 2+10x-10x(1+5x)^2 = 2(1+5x)^2

Passo 6

Por fim, substituímos na EDO:
2x^2y'' - (y')^2 = 2x^2·2(1+5x)^2 - l(2x1+5xr)^2 = 4x^2(1+5x)^2 - 4x^2(1+5x)^2 = 0

Passo 7

Como obtivemos 0=0, Φ satisfaz a EDO em I e todas as funções usadas estão bem definidas em I.

Resposta

Um intervalo apropriado é I = (0, ∞), e Φ(x) é solução da EDO nesse intervalo.

Exercícios relacionados