Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime prime+4 y=0, Phi(x)=A cos (2 x)+B sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede para escolher um intervalo aberto I em que a função Phi(x)=Acos(2x)+Bsin(2x) seja solução da EDO y''+4y=0. O conteúdo é verificação de solução por substituição em uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar escolher I onde Phi e suas derivadas são contínuas e calcular Phi' e Phi'' para substituir na EDO.

Passo 2

Como cos(2x) e sin(2x) são funções infinitamente diferenciáveis em todo R e os coeficientes da EDO (neste caso o número 4) são contínuos em R, podemos tomar como intervalo aberto apropriado
I=R

Passo 3

Calculando a primeira derivada:
Phi'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x)
Em seguida, a segunda derivada:
Phi''(x) = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)

Passo 4

Substituindo na EDO y''+4y=0, temos:
Phi''(x) + 4Phi(x) =l(-4Acos(2x)-4Bsin(2x)r) +4l(Acos(2x)+Bsin(2x)r) =0
Como a soma dá zero, Phi satisfaz a equação em todo I.

Resposta

Um intervalo aberto adequado é I=R. Substituindo Phi no lado esquerdo da EDO obtém-se Phi''+4Phi=0, logo Phi(x)=Acos(2x)+Bsin(2x) é solução da EDO em I.

Exercícios relacionados