Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto J apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em J.
y y^{\prime}=-x, \quad y=\varphi(x) é dada implicitamente pela equação x^{2}+y^{2}=5

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a função definida implicitamente por
x^{2}+y^{2}=5
é solução da EDO
y\,y'=-x
num intervalo aberto J em que a função possa ser escrita como y=\varphi(x). Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita e depois diferenciar a relação dada.

Passo 2

Defina
F(x,y)=x^{2}+y^{2}-5.
Para aplicar o Teorema da Função Implícita precisamos de \frac{\partial F}{\partial y}\neq0. Como
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2y,
vemos que basta manter y\neq0. A curva x^{2}+y^{2}=5 tem duas “ramificações”
y=+\sqrt{5-x^{2}} \quad\text{ou}\quad y=-\sqrt{5-x^{2}},
válidas enquanto 5-x^{2}>0 (isto é, |x|<\sqrt5). Em cada ramo escolhemos
J=(-\sqrt5,\sqrt5)
para garantir que y nunca se anule e que \varphi(x) é bem definida e diferenciável em todo J.

Passo 3

Diferenciando x^{2}+y^{2}=5 em relação a x (e lembrando que y=\varphi(x)) obtemos
2x + 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{x}{y}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y temos
y\,y' \;=\; y\;\bigl(-\tfrac{x}{y}\bigr) \;=\;-x,
que é exatamente a EDO dada. Logo cada ramo \varphi(x)=\pm\sqrt{5-x^{2}} satisfaz
\,y\,y'=-x em J=(-\sqrt5,\sqrt5).

Resposta

Escolha
J=(-\sqrt5,\sqrt5),
e então cada uma das funções
\varphi(x)=+\sqrt{5-x^{2}} \quad\text{ou}\quad \varphi(x)=-\sqrt{5-x^{2}}
é solução da EDO y\,y'=-x em J.

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