Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto
apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em
.
é dada implicitamente pela equação
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a função definida implicitamente por
é solução da EDO
num intervalo aberto
em que a função possa ser escrita como
. Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita e depois diferenciar a relação dada.
Passo 2
Defina
Para aplicar o Teorema da Função Implícita precisamos de
. Como
vemos que basta manter
. A curva
tem duas “ramificações”
válidas enquanto
(isto é,
). Em cada ramo escolhemos
para garantir que
nunca se anule e que
é bem definida e diferenciável em todo
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
(e lembrando que
) obtemos
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
temos
que é exatamente a EDO dada. Logo cada ramo
satisfaz
em
.
Resposta
Escolha
e então cada uma das funções
é solução da EDO
em
.