Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Determine a solução geral da EDO y^{\prime \prime}=f(x) \mathrm{em} (a, b).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y''(x)=f(x)
em (a,b), onde f é contínua em [a,b]. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: integrar duas vezes, introduzindo constantes de integração, e somar à solução geral da homogênea associada y''=0.

Passo 2

Como f é contínua, existe uma primitiva F de f, isto é, uma função que satisfaz
F'(x)=f(x)
para todo x. Integrando a equação original uma vez em relação a x, obtemos
y'(x)=F(x)+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 3

Integramos novamente a expressão para y'. Como
y'(x)=F(x)+C_{1},
temos
y(x)=\int F(x)\,dx + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração. Para explicitar a dupla integração de f, definimos também
G(x)=\int_{x_{0}}^{x}F(s)\,ds =\int_{x_{0}}^{x}\Bigl(\!\int_{x_{0}}^{s}f(t)\,dt\Bigr)\,ds
para um ponto fixo x_{0}\in(a,b).

Passo 4

A solução geral é a soma de G(x) (solução particular) e da solução geral da homogênea y_{h}(x)=C_{1}x+C_{2}. Portanto, escrevemos
y(x)=C_{1}x + C_{2} + \int_{x_{0}}^{x}\Bigl(\!\int_{x_{0}}^{s}f(t)\,dt\Bigr)\,ds.
Usando mudança de ordem de integração, essa forma pode ser reescrita como
y(x)=C_{1}x + C_{2} + \int_{x_{0}}^{x}(x - t)\,f(t)\,dt.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2} + \int_{x_{0}}^{x}(x - t)\,f(t)\,dt,
em que C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

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