Seja
uma função contínua. Determine a solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
em
, onde
é contínua em
. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: integrar duas vezes, introduzindo constantes de integração, e somar à solução geral da homogênea associada
.
Passo 2
Como
é contínua, existe uma primitiva
de
, isto é, uma função que satisfaz
para todo
. Integrando a equação original uma vez em relação a
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Integramos novamente a expressão para
. Como
temos
onde
é a segunda constante de integração. Para explicitar a dupla integração de
, definimos também
para um ponto fixo
.
Passo 4
A solução geral é a soma de
(solução particular) e da solução geral da homogênea
. Portanto, escrevemos
Usando mudança de ordem de integração, essa forma pode ser reescrita como
Resposta
em que
e