Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto J apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em J.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0, \quad \varphi(x)=e^{-x}(A \cos (x)+B \operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos que \varphi(x)=e^{-x}\bigl(A\cos x + B\operatorname{sen} x\bigr)
é solução da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0
em algum intervalo aberto J.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (regra do produto, derivadas de \cos e \operatorname{sen}) e depois substituir na equação.

Passo 2

Como e^{-x}, \cos x e \operatorname{sen} x são funções infinitamente diferenciáveis em todo \mathbb{R}, podemos escolher
J = \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular \varphi'(x). Seja
u(x)=A\cos x + B\operatorname{sen} x,
então \varphi(x)=e^{-x}u(x) e, pela regra do produto,
\varphi'(x)=e^{-x}u'(x)-e^{-x}u(x) =e^{-x}\bigl(u'(x)-u(x)\bigr).
Como u'(x)=-A\operatorname{sen} x + B\cos x, vem
\varphi'(x) =e^{-x}\Bigl[\bigl(-A\operatorname{sen} x + B\cos x\bigr)-\bigl(A\cos x + B\operatorname{sen} x\bigr)\Bigr] =e^{-x}\bigl((B-A)\cos x\;-\;(A+B)\operatorname{sen} x\bigr).

Passo 4

Calcular \varphi''(x). Defina
v(x)=(B-A)\cos x - (A+B)\operatorname{sen} x,
então \varphi'(x)=e^{-x}v(x) e
\varphi''(x)= -e^{-x}v(x) + e^{-x}v'(x) =e^{-x}\bigl(v'(x)-v(x)\bigr).
Como
v'(x)=-(B-A)\operatorname{sen} x - (A+B)\cos x,
temos
v'(x)-v(x) =\bigl[-(B-A)\operatorname{sen} x - (A+B)\cos x\bigr] -\bigl[(B-A)\cos x - (A+B)\operatorname{sen} x\bigr] =2A\operatorname{sen} x - 2B\cos x.
Logo
\varphi''(x)=e^{-x}\bigl(2A\operatorname{sen} x - 2B\cos x\bigr).

Passo 5

Substituir em y''+2y'+2y:
\varphi''+2\varphi'+2\varphi =e^{-x}\bigl(2A\operatorname{sen} x - 2B\cos x\bigr) +2\,e^{-x}\bigl((B-A)\cos x - (A+B)\operatorname{sen} x\bigr) +2\,e^{-x}\bigl(A\cos x + B\operatorname{sen} x\bigr).
Agrupando coeficientes de \cos x e de \operatorname{sen} x:
  • Em \cos x: -2B + 2(B-A) + 2A = 0.
  • Em \operatorname{sen} x: 2A -2(A+B) + 2B = 0.
    Portanto
\varphi''+2\varphi'+2\varphi =e^{-x}\bigl(0\cdot\cos x + 0\cdot\operatorname{sen} x\bigr) =0,
ou seja, \varphi satisfaz a EDO em J.

Resposta

Escolhendo
J = \mathbb{R},
verificamos que
\varphi''(x)+2\varphi'(x)+2\varphi(x)=0,
logo \varphi é solução da EDO em J.

Exercícios relacionados