Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto J apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em J.
y^{\prime \prime \prime}=6, \quad \varphi(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial y'''=6
e a função candidata
\varphi(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c
com constantes a,b,c. Precisamos escolher um intervalo aberto J em que \varphi esteja definida e verificar que em J vale
\varphi'''(x)=6.

Passo 2

Para verificar que \varphi satisfaz a EDO, calculamos suas derivadas sucessivas:
\varphi'(x)=3x^{2}+2a x+b,
\varphi''(x)=6x+2a,
\varphi'''(x)=6.

Passo 3

Vimos que \varphi'''(x)=6 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, \varphi satisfaz exatamente a EDO y'''=6 em qualquer ponto real.

Passo 4

Como \varphi é um polinômio de grau 3, seu domínio natural é \mathbb{R}, que é um intervalo aberto. Logo, podemos tomar J=\mathbb{R}.

Resposta

Podemos escolher J=\mathbb{R}. Em J, a função \varphi(x)=x^3+a x^2+b x+c satisfaz \varphi'''(x)=6, logo é solução da EDO.

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