Em cada item a seguir escrevemos abreviadamente R^2=R times R. Verificar se o conjunto dado pode ser o gráfico de uma função y=f(x). Em caso afirmativo, explicitá-la:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
G=(x,y)in R^2midtfracx^24+tfracy^29=1
pode ser o gráfico de alguma função do tipo y=f(x). O conteúdo envolve o teste da reta vertical e a resolução de uma equação implícita para y.

Passo 2

Para ver se um conjunto em R^2 é gráfico de uma função y=f(x), usamos o teste da reta vertical: para cada x deve corresponder no máximo um y. Caso algum x tenha dois ou mais y, não é gráfico de função.

Passo 3

Vamos resolver a equação
x^24+y^29=1
para y. Primeiro isolamos y^2:
$$
\frac{y2}{9}=1-\frac{x2}{4}
$$
$$y2=9\Bigl(1-\frac{x2}{4}\Bigr)=9-\frac{9}{4}x^2
y^29=1-x^24 y=\pm\sqrt{9-\tfrac{9}{4}x2}=\pm3\sqrt{1-\frac{x2}{4}}$$
A área real exige y^2=9l(1-x^24r)=9-94x^2 , ou seja y=pmraiz9-tfrac94x^2=pm3raiz1-x^24.

Passo 4

Conclusão: para cada x em (-2,2) temos dois valores de y, um positivo e um negativo. Portanto o conjunto inteiro não passa no teste da reta vertical e não é o gráfico de uma única função y=f(x). Se quiséssemos uma função, teríamos de escolher apenas a parte superior
y=3raiz1-tfracx^24
ou apenas a parte inferior
y=-3raiz1-tfracx^24
com domínio [-2,2].

Resposta

O conjunto dado não é o gráfico de uma única função y=f(x), pois cada xin(-2,2) gera dois valores de y.

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