Em cada item a seguir escrevemos abreviadamente . Verificar se o conjunto dado pode ser o gráfico de uma função . Em caso afirmativo, explicitá-la:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
G=(x,y)in R^2midtfracx^24+tfracy^29=1
pode ser o gráfico de alguma função do tipo y=f(x). O conteúdo envolve o teste da reta vertical e a resolução de uma equação implícita para y.
Passo 2
Para ver se um conjunto em R^2 é gráfico de uma função y=f(x), usamos o teste da reta vertical: para cada x deve corresponder no máximo um y. Caso algum x tenha dois ou mais y, não é gráfico de função.
A área real exige y^2=9l(1-x^24r)=9-94x^2 , ou seja y=pmraiz9-tfrac94x^2=pm3raiz1-x^24.
Passo 4
Conclusão: para cada x em (-2,2) temos dois valores de y, um positivo e um negativo. Portanto o conjunto inteiro não passa no teste da reta vertical e não é o gráfico de uma única função y=f(x). Se quiséssemos uma função, teríamos de escolher apenas a parte superior y=3raiz1-tfracx^24
ou apenas a parte inferior y=-3raiz1-tfracx^24
com domínio [-2,2].
Resposta
O conjunto dado não é o gráfico de uma única função y=f(x), pois cada xin(-2,2) gera dois valores de y.