Construir o gráfico e determinar o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico de uma função definida em três partes e, a partir disso, achar o conjunto imagem. O conteúdo é função por partes e vamos analisar cada ramo separadamente, descobrindo o tipo de função (constante, quadrática ou linear), seu domínio naquele pedaço e quais valores ela assume.
Passo 2
Para x<-2 ou x>2, temos f(x)=-4. Como é constante, neste pedaço a função só produz o valor -4.
Passo 3
No ramo -2<= x<0, f(x)=-x^2-4x. Fazendo a soma pela forma canônica:
f(x)=-x^2-4x=4-(x+2)^2
Isso é uma parábola voltada pra baixo com vértice em x=-2, onde f(-2)=4. Quando x vai de -2 até 0, (x+2)^2 cresce de 0 a 4, então f(x) cai de 4 até 0. Mas x=0 não entra aqui, então o ramo produz valores em (0,4].
Passo 4
Para 0<= x<=2, f(x)=-|x+2|. Aqui x+2>=2, logo |x+2|=x+2 e
f(x)=-(x+2)=-x-2
É uma reta decrescente; em x=0 dá -2 e em x=2 dá -4, ambos incluídos. Então esse ramo dá valores em [-4,-2].
Passo 5
Unindo tudo: do ramo constante vem -4, do quadrático vem (0,4] e da reta vem [-4,-2]. Como -4 já está em [-4,-2], o conjunto imagem é [-4,-2]cup(0,4].