Em cada item a seguir escrevemos abreviadamente R^2=R times R. Verificar se o conjunto dado pode ser o gráfico de uma função y=f(x). Em caso afirmativo, explicitá-la:

Passo 1

O enunciado nos apresenta o conjunto G=(x,y)inR^2mid y^2 - x^2 = 1 e pede para verificar se ele pode ser o gráfico de uma função y=f(x). Vamos usar o teste da reta vertical e isolar y em função de x.

Passo 2

Da equação y^2 - x^2 = 1 podemos escrever
y^2 = 1 + x^2
e daí obtemos
y = pmraiz1 + x^2
Isso mostra que para cada valor de x há dois valores de y: um positivo e um negativo. No teste da reta vertical, uma reta x=constante cruza G em dois pontos distintos quando x é fixo.

Passo 3

Como há dois valores de y para cada x, o conjunto G não passa no teste da reta vertical e, portanto, não é o gráfico de uma única função y=f(x).
Se quisermos obter gráficos de funções, podemos separar as duas componentes:
f1(x)=raiz1+x^2, f2(x)=-raiz1+x^2

Resposta

O conjunto G não é o gráfico de uma única função y=f(x), pois para cada x ele fornece dois valores de y. Entretanto, suas componentes são os gráficos das funções f1(x)=raiz1+x^2 e f2(x)=-raiz1+x^2.

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