Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas: (a) explicar por que essa equação é uma equação de variável separável; (b) encontrar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona a derivada com
e
por meio do produto
.
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona a derivada
Passo 2
O que significa “variável separável”? Uma equação do tipo
é separável porque podemos reorganizá-la para colocar todos os termos envolvendo
de um lado e todos os termos envolvendo
do outro: isso leva a
e então integramos ambos os lados. No nosso caso, comparando com
identificamos
Como a equação está na forma produto
, ela é separável.
Passo 3
Façamos a separação explicitamente. Partimos de
Para separar, dividimos por
(atenção: isso pressupõe
; a solução identicamente nula
deve ser tratada à parte). Assim,
Agora multiplicamos por
para obter os diferenciais separados:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou lembrar a regra básica:
e
. Integrando:
onde
é uma constante de integração (uma única constante basta porque subtrai-se uma das integrais).
Passo 5
Isolamos
. Exponenciando ambos os lados:
Chame
. Então
, o que dá
. Podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária
(real), escrevendo
onde
é uma constante real. Além disso, a solução
é obtida escolhendo
. Portanto a família completa de soluções é dada por
com
.
Passo 6
Comentário prático (útil na prova): ao aplicar condições iniciais
, basta substituir e obter
Também é bom lembrar: ao dividir por
no passo da separação, deve-se checar a solução
separadamente; aqui ela já está incluída pela constante
.