Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
y^{\prime}=2 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = 2 x y
e pede duas coisas: (a) explicar por que essa equação é uma equação de variável separável; (b) encontrar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona a derivada y' com x e y por meio do produto 2x\cdot y.

Passo 2

O que significa “variável separável”? Uma equação do tipo
y' = f(x)\,g(y)
é separável porque podemos reorganizá-la para colocar todos os termos envolvendo y de um lado e todos os termos envolvendo x do outro: isso leva a
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx,
e então integramos ambos os lados. No nosso caso, comparando com y'=f(x)g(y) identificamos
f(x)=2x,\qquad g(y)=y.
Como a equação está na forma produto 2x\cdot y, ela é separável.

Passo 3

Façamos a separação explicitamente. Partimos de
\frac{dy}{dx} = 2x\,y.
Para separar, dividimos por y (atenção: isso pressupõe y\neq0; a solução identicamente nula y\equiv0 deve ser tratada à parte). Assim,
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = 2x.
Agora multiplicamos por dx para obter os diferenciais separados:
\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou lembrar a regra básica: \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C e \int 2x\,dx = x^2 + C. Integrando:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx
\Rightarrow \ln|y| = x^2 + C,
onde C é uma constante de integração (uma única constante basta porque subtrai-se uma das integrais).

Passo 5

Isolamos y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{x^2 + C} = e^{C}\,e^{x^2}.
Chame A = e^{C}>0. Então |y| = A e^{x^2}, o que dá y = \pm A e^{x^2}. Podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária C_1 (real), escrevendo
y = C_1 e^{x^2},
onde C_1 é uma constante real. Além disso, a solução y\equiv0 é obtida escolhendo C_1=0. Portanto a família completa de soluções é dada por y = C_1 e^{x^2} com C_1\in\mathbb{R}.

Passo 6

Comentário prático (útil na prova): ao aplicar condições iniciais y(x_0)=y_0, basta substituir e obter
C_1 = y_0 e^{-x_0^2}.
Também é bom lembrar: ao dividir por y no passo da separação, deve-se checar a solução y\equiv0 separadamente; aqui ela já está incluída pela constante C_1=0.

Resposta

y = C e^{x^2},\\ C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados