Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que é pedido:
- Explicar por que essa equação é de variável separável.
- Encontrar a solução geral (a família de soluções com constante de integração).
Passo 2
Colocar a equação em forma explícita para
. Vou isolar
dividindo por
. Assim obtenho
Agora vou mostrar por que isso é separável. Uma equação é separável se puder ser escrita como
ou seja, um fator que depende só de
multiplicado por um fator que depende só de
. Aqui é fácil ver que
Então
depende só de
e
depende só de
. Logo a equação é separável.
Passo 3
Separar as variáveis: escrever todos os termos com
multiplicando
e os termos com
multiplicando
. Usando
obtemos
e então
Agora integro os dois lados. As integrais são as bem conhecidas de arco-tangente:
e
Igualando as primitivas (absorvendo as constantes) obtenho a forma implícita da solução:
onde
é uma constante real que representa
.
Observação rápida sobre constantes: a função
tem ambiguidade por múltiplos de
, mas essa ambiguidade fica contida na constante arbitrária
. Para soluções reais o
cobre todas as possibilidades.
Passo 4
Quero agora escrever a solução de forma explícita
. A partir de
aplico a tangente em ambos os lados e uso a fórmula da tangente da diferença. Primeiro escrevo
Se preferir uma forma racional em
com uma constante
mais direta, ponho
. Usando a fórmula
com
e
(portanto
) resulta
onde
é uma constante real arbitrária. Note a condição de domínio
para que a expressão racional esteja bem definida; quando
a forma racional tem singularidade, mas a solução implícita
ainda descreve corretamente o comportamento através da constante
.
Também verifico se existem soluções constantes
. Se
constante,
e a equação vira
, que não tem solução real. Logo não há soluções constantes reais.
Passo 5
Resumo didático e dicas para a prova:
- Identificar rapidamente que a equação é separável ao reescrever
produto de função de por função de . - Separar em
, integrar e juntar constantes. - Lembre que
. - Ao isolar
depois da integração, pode aparecer ; para um domínio mais explícito use a substituição e a fórmula da tangente da diferença para obter uma expressão racional. - Sempre checar soluções constantes (aqui não existem soluções constantes reais).