Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+y^{2}+1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x^{2})\,y'+y^{2}+1=0.
O que é pedido:
  • Explicar por que essa equação é de variável separável.
  • Encontrar a solução geral (a família de soluções com constante de integração).

Passo 2

Colocar a equação em forma explícita para y'. Vou isolar y' dividindo por 1+x^{2}. Assim obtenho
y'=-\frac{y^{2}+1}{1+x^{2}}.
Agora vou mostrar por que isso é separável. Uma equação é separável se puder ser escrita como
y'=G(x)\,H(y),
ou seja, um fator que depende só de x multiplicado por um fator que depende só de y. Aqui é fácil ver que
y'=\Big(-\frac{1}{1+x^{2}}\Big)\cdot(1+y^{2}).
Então G(x)=-\dfrac{1}{1+x^{2}} depende só de x e H(y)=1+y^{2} depende só de y. Logo a equação é separável.

Passo 3

Separar as variáveis: escrever todos os termos com y multiplicando dy e os termos com x multiplicando dx. Usando y'=\dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}
e então
\frac{dy}{1+y^{2}}=-\frac{dx}{1+x^{2}}.
Agora integro os dois lados. As integrais são as bem conhecidas de arco-tangente:
\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)+C_{1}
e
\int-\frac{dx}{1+x^{2}}=-\arctan(x)+C_{2}.
Igualando as primitivas (absorvendo as constantes) obtenho a forma implícita da solução:
\arctan(y)+\arctan(x)=C,
onde C é uma constante real que representa C_{1}-C_{2}.
Observação rápida sobre constantes: a função \arctan tem ambiguidade por múltiplos de \pi, mas essa ambiguidade fica contida na constante arbitrária C. Para soluções reais o C cobre todas as possibilidades.

Passo 4

Quero agora escrever a solução de forma explícita y=y(x). A partir de
\arctan(y)=C-\arctan(x)
aplico a tangente em ambos os lados e uso a fórmula da tangente da diferença. Primeiro escrevo
y=\tan\!\big(C-\arctan(x)\big).
Se preferir uma forma racional em x com uma constante K mais direta, ponho K=\tan\text{(C)}. Usando a fórmula
\tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\;\tan B}
com A=C e B=\arctan(x) (portanto \tan B=x) resulta
y=\frac{K-x}{1+Kx},
onde K=\tan\text{(C)} é uma constante real arbitrária. Note a condição de domínio 1+Kx\neq0 para que a expressão racional esteja bem definida; quando 1+Kx=0 a forma racional tem singularidade, mas a solução implícita \arctan(y)+\arctan(x)=C ainda descreve corretamente o comportamento através da constante C.
Também verifico se existem soluções constantes y=c. Se y constante, y'=0 e a equação vira c^{2}+1=0, que não tem solução real. Logo não há soluções constantes reais.

Passo 5

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Identificar rapidamente que a equação é separável ao reescrever y'= produto de função de x por função de y.
  • Separar em \dfrac{dy}{H(y)}=G(x)\,dx, integrar e juntar constantes.
  • Lembre que \displaystyle\int\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan(u).
  • Ao isolar y depois da integração, pode aparecer \tan(C-\arctan x); para um domínio mais explícito use a substituição K=\tan C e a fórmula da tangente da diferença para obter uma expressão racional.
  • Sempre checar soluções constantes (aqui não existem soluções constantes reais).

Resposta

\arctan(y)+\arctan(x)=C,\quad C\in\mathbb{R}
\displaystyle y=\tan\!\big(C-\arctan(x)\big)\quad\text{ou}\quad y=\frac{K-x}{1+Kx},\\ K\in\mathbb{R},\\\ 1+Kx\neq0

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