Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
x \log y \frac{d y}{d x}=y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\log y\,\frac{dy}{dx}=y
e pede duas coisas: (1) explicar por que essa equação é de variável separável; (2) encontrar a solução geral. As informações relevantes que temos são a própria equação e que aparece \log y, o que impõe a restrição temporária y>0 quando trabalhamos com logaritmo real.

Passo 2

O que significa “variável separável” (explicação didática e sem pular etapas).
Uma equação diferencial é saida “separável” quando é possível escrever os termos envolvendo y multiplicando dy de um lado e os termos envolvendo x multiplicando dx do outro, numa forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx.
Isso é útil porque então podemos integrar cada lado independentemente: \int g(y)\,dy = \int h(x)\,dx. A ideia prática é rearranjar algebricamente a equação para isolar fatores apenas em y com dy e apenas em x com dx. Vou mostrar isso passo a passo com a equação dada.

Passo 3

Separando as variáveis a partir da equação dada. Começo isolando \dfrac{dy}{dx}:
x\log y\,\frac{dy}{dx}=y
\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x\log y}.
Agora multiplico ambos os lados por \dfrac{\log y}{y} (isso é permitido desde que y\neq 0; mais adiante vemos que y>0 para o logaritmo) e por dx, obtendo
\frac{\log y}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.
Pronto: os termos estão separados: do lado esquerdo só há coisas em y multiplicando dy; do lado direito só há coisas em x multiplicando dx. Portanto a equação é de variável separável.

Passo 4

Cheque rápido de soluções constantes (para não esquecer casos especiais).
Se buscássemos uma solução constante y(x)\equiv c, então \dfrac{dy}{dx}=0 e a equação original daria 0 = c, o que exigiria c=0. Mas c=0 não é admissível porque \log 0 não está definida. Logo, não há solução constante real. Além disso, pelo uso do logaritmo precisamos de y>0. Também é necessário x\neq 0 para \dfrac{1}{x} e \ln|x| a seguir.

Passo 5

Integração dos dois lados (explicando a técnica usada).
Integramos ambos os lados da igualdade separada:
\int \frac{\log y}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx.
Para a integral à esquerda usamos a substituição natural t=\log y. Então dt=\dfrac{1}{y}\,dy. Assim o integrando \dfrac{\log y}{y}\,dy vira t\,dt. Calculando:
\int \frac{\log y}{y}\,dy = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\log y)^2}{2}+C.
A integral da direita é a integral clássica:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Unindo as duas integrais (usando uma única constante de integração no final) obtemos
\frac{(\log y)^2}{2} = \ln|x| + C.

Passo 6

Arrumando a solução em forma mais conveniente.
Multiplico por 2 e renomeio a constante para simplificar:
(\log y)^2 = 2\ln|x| + C_1,
onde C_1 é uma constante arbitrária real. Esta é uma forma implícita da solução geral. Se quisermos uma forma explícita para y, tiramos raiz quadrada (lembrando do sinal ±) e exponenciamos:
\log y = \pm\sqrt{\,2\ln|x| + C_1\,},
y = \exp\!\big(\pm\sqrt{\,2\ln|x| + C_1\,}\big).
Ambas as formas representam a família de soluções gerais; a forma implícita (\log y)^2 = 2\ln|x| + C_1 é frequentemente preferida porque já engloba os dois sinais.

Passo 7

Domínio e observações finais (para usar na prova).
  • É necessário y>0 para que \log y seja real; também x\neq 0 para \ln|x| estar definida.
  • A constante C_1 pode ser qualquer número real; para que a expressão dentro da raiz seja não negativa pode haver restrições locais no domínio de x, mas a forma implícita não exige escolher sinal.
  • Não existem soluções constantes válidas (ver Passo 4).

Resposta

A equação é separável porque pode ser escrita como \dfrac{\log y}{y}\,dy=\dfrac{1}{x}\,dx.
Solução geral (implícita): (\log y)^2 = 2\ln|x| + C_1.
Solução geral (explícita): y=\exp\!\big(\pm\sqrt{\,2\ln|x| + C_1\,}\big), com y>0 e x\neq 0.

Exercícios relacionados