Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) explicar por que essa equação é de variável separável; (2) encontrar a solução geral. As informações relevantes que temos são a própria equação e que aparece
, o que impõe a restrição temporária
quando trabalhamos com logaritmo real.
Passo 2
O que significa “variável separável” (explicação didática e sem pular etapas).
Uma equação diferencial é saida “separável” quando é possível escrever os termos envolvendo multiplicando
de um lado e os termos envolvendo
multiplicando
do outro, numa forma
Uma equação diferencial é saida “separável” quando é possível escrever os termos envolvendo
Isso é útil porque então podemos integrar cada lado independentemente:
. A ideia prática é rearranjar algebricamente a equação para isolar fatores apenas em
com
e apenas em
com
. Vou mostrar isso passo a passo com a equação dada.
Passo 3
Separando as variáveis a partir da equação dada. Começo isolando
:
Agora multiplico ambos os lados por
(isso é permitido desde que
; mais adiante vemos que
para o logaritmo) e por
, obtendo
Pronto: os termos estão separados: do lado esquerdo só há coisas em
multiplicando
; do lado direito só há coisas em
multiplicando
. Portanto a equação é de variável separável.
Passo 4
Cheque rápido de soluções constantes (para não esquecer casos especiais).
Se buscássemos uma solução constante , então
e a equação original daria
, o que exigiria
. Mas
não é admissível porque
não está definida. Logo, não há solução constante real. Além disso, pelo uso do logaritmo precisamos de
. Também é necessário
para
e
a seguir.
Se buscássemos uma solução constante
Passo 5
Integração dos dois lados (explicando a técnica usada).
Integramos ambos os lados da igualdade separada:
Integramos ambos os lados da igualdade separada:
Para a integral à esquerda usamos a substituição natural
. Então
. Assim o integrando
vira
. Calculando:
A integral da direita é a integral clássica:
Unindo as duas integrais (usando uma única constante de integração no final) obtemos
Passo 6
Arrumando a solução em forma mais conveniente.
Multiplico por e renomeio a constante para simplificar:
Multiplico por
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é uma forma implícita da solução geral. Se quisermos uma forma explícita para
, tiramos raiz quadrada (lembrando do sinal ±) e exponenciamos:
Ambas as formas representam a família de soluções gerais; a forma implícita
é frequentemente preferida porque já engloba os dois sinais.
Passo 7
Domínio e observações finais (para usar na prova).
- É necessário
para que seja real; também para estar definida. - A constante
pode ser qualquer número real; para que a expressão dentro da raiz seja não negativa pode haver restrições locais no domínio de , mas a forma implícita não exige escolher sinal. - Não existem soluções constantes válidas (ver Passo 4).
Resposta
A equação é separável porque pode ser escrita como
.
Solução geral (implícita): .
Solução geral (explícita): , com
e
.
Solução geral (implícita):
Solução geral (explícita):