Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) explicar por que essa equação é de variável separável; (2) encontrar a solução geral.
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A derivada é denotada por
(ou seja, ). - O termo do lado direito é
.
Passo 2
Entendendo a notação e reescrevendo a expressão do lado direito.
- Lembrete rápido:
. Isso significa que a equação relaciona a taxa de variação de com e . - Use a propriedade dos exponenciais: para quaisquer números
e vale . - Aplicando isso ao termo do enunciado:
Portanto a equação pode ser escrita como
Passo 3
Por que é separável e como separar as variáveis (a “aula” sobre o método).
- Definição prática: uma equação é separável se é possível escrever
e então rearranjá-la para obter uma igualdade do tipo . Assim cada lado depende de apenas uma variável e pode ser integrado. - No nosso caso já temos
, então e . - Para separar, dividimos ambos os lados por
(isto é permitido porque para todo , então nunca dividimos por zero):
- Reescrevendo em forma diferencial (isolando
e ):
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de
, o direito só de
. Pronto — a equação é separável.
Passo 4
Integração das duas partes (passo-a-passo da integral).
- Vamos integrar ambos os lados. Regra usada:
. No caso de temos . - Escrevendo a igualdade das integrais:
- Calcule a integral esquerda:
porque derivando
obtém-se
.
- Calcule a integral direita:
- Unindo e absorvendo constantes (subtraindo
de ambos os lados e renomeando a constante resultante por ) obtemos:
Passo 5
Isolando
e escrevendo a solução geral.
- Multiplicando por
:
- Renomeando a constante
por (isso é permitido porque é arbitrária), fica mais conveniente escrever:
onde agora
é uma constante arbitrária (real).
- Aplicando logaritmo natural e isolando
:
- Observação sobre domínio: para a solução ser real é necessário que o argumento do logaritmo seja positivo, isto é
. Portanto a solução é definida em qualquer intervalo de onde essa desigualdade seja satisfeita (para cada escolha de escolhe-se o intervalo compatível).
Passo 6
Verificação rápida (cheque para usar na prova e ganhar confiança).
- Diferenciando
com relação a :
- Calcule
com essa :
- Como
fica comprovado que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (na região onde ).
Passo 7
Notas finais, dicas para a prova e encorajamento.
- Não existe solução constante
const porque se então o lado direito seria sempre zero, o que é impossível (exponencial é sempre positivo). Logo nenhuma solução constante real. - Sempre que vir
ou algo do tipo cheque se pode fatorar como produto . Esse é o sinal verde para separar variáveis. - Lembre-se de tratar a constante de integração com cuidado: é comum renomeá-la para simplificar sinais, mas sempre observe o domínio (argumento do logaritmo positivo, denominadores não nulos etc.).
- Vai dar certo — respira fundo e pratique mais um ou dois exercícios parecidos.