Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
y^{\prime}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' = e^{x+y}
e pede duas coisas: (1) explicar por que essa equação é de variável separável; (2) encontrar a solução geral.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é denotada por y' (ou seja, y'=\dfrac{dy}{dx}).
  • O termo do lado direito é e^{x+y}.

Passo 2

Entendendo a notação e reescrevendo a expressão do lado direito.
  • Lembrete rápido: y'=\dfrac{dy}{dx}. Isso significa que a equação relaciona a taxa de variação de y com x e y.
  • Use a propriedade dos exponenciais: para quaisquer números a e b vale e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}.
  • Aplicando isso ao termo do enunciado:
e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}.
Portanto a equação pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=e^{x}\,e^{y}.

Passo 3

Por que é separável e como separar as variáveis (a “aula” sobre o método).
  • Definição prática: uma equação é separável se é possível escrever \dfrac{dy}{dx}=F(x)\,G(y) e então rearranjá-la para obter uma igualdade do tipo H(y)\,dy = K(x)\,dx. Assim cada lado depende de apenas uma variável e pode ser integrado.
  • No nosso caso já temos \dfrac{dy}{dx}=e^{x}\,e^{y}, então F(x)=e^{x} e G(y)=e^{y}.
  • Para separar, dividimos ambos os lados por e^{y} (isto é permitido porque e^{y}>0 para todo y, então nunca dividimos por zero):
\frac{1}{e^{y}}\frac{dy}{dx}=e^{x}.
  • Reescrevendo em forma diferencial (isolando dx e dy):
e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx.
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de y, o direito só de x. Pronto — a equação é separável.

Passo 4

Integração das duas partes (passo-a-passo da integral).
  • Vamos integrar ambos os lados. Regra usada: \int e^{ax}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C. No caso de \int e^{-y}\,dy temos a=-1.
  • Escrevendo a igualdade das integrais:
\int e^{-y}\,dy = \int e^{x}\,dx.
  • Calcule a integral esquerda:
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y} + C_1,
porque derivando -e^{-y} obtém-se e^{-y}.
  • Calcule a integral direita:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_2.
  • Unindo e absorvendo constantes (subtraindo C_1 de ambos os lados e renomeando a constante resultante por C) obtemos:
- e^{-y} = e^{x} + C.

Passo 5

Isolando y e escrevendo a solução geral.
  • Multiplicando por -1:
e^{-y} = -e^{x} - C.
  • Renomeando a constante -C por C (isso é permitido porque C é arbitrária), fica mais conveniente escrever:
e^{-y} = C - e^{x},
onde agora C é uma constante arbitrária (real).
  • Aplicando logaritmo natural e isolando y:
-y = \ln\!\bigl(C - e^{x}\bigr)
y = -\ln\!\bigl(C - e^{x}\bigr).
  • Observação sobre domínio: para a solução ser real é necessário que o argumento do logaritmo seja positivo, isto é \,C - e^{x}>0. Portanto a solução é definida em qualquer intervalo de x onde essa desigualdade seja satisfeita (para cada escolha de C escolhe-se o intervalo compatível).

Passo 6

Verificação rápida (cheque para usar na prova e ganhar confiança).
  • Diferenciando y(x)=-\ln\!\bigl(C - e^{x}\bigr) com relação a x:
y'(x) = -\frac{1}{C - e^{x}}\cdot\bigl(-e^{x}\bigr)=\frac{e^{x}}{C - e^{x}}.
  • Calcule e^{x+y} com essa y:
e^{x+y}=e^{x - \ln(C - e^{x})}=\frac{e^{x}}{C - e^{x}}.
  • Como y'=e^{x+y} fica comprovado que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial (na região onde C - e^{x}>0).

Passo 7

Notas finais, dicas para a prova e encorajamento.
  • Não existe solução constante y= const porque se y'\equiv0 então o lado direito e^{x+y} seria sempre zero, o que é impossível (exponencial é sempre positivo). Logo nenhuma solução constante real.
  • Sempre que vir e^{x+y} ou algo do tipo f(x+y) cheque se pode fatorar como produto f_1(x)f_2(y). Esse é o sinal verde para separar variáveis.
  • Lembre-se de tratar a constante de integração com cuidado: é comum renomeá-la para simplificar sinais, mas sempre observe o domínio (argumento do logaritmo positivo, denominadores não nulos etc.).
  • Vai dar certo — respira fundo e pratique mais um ou dois exercícios parecidos.

Resposta

y(x) = -\ln\!\bigl(C - e^{x}\bigr), onde C é constante arbitrária e a solução é definida nos intervalos em que C - e^{x}>0.

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