Para cada item a seguir, faça o que se pede:
Dada a função f(x)=cos ^2 x, determine a derivada de ordem n e calcule f^(10)(0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de f(x)=cos^2x e também o valor de f^(10)(0). Vamos usar trigonometria (identidade do cosseno duplo) e a regra da cadeia para derivadas de ordem n.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para reescrever f(x): cos^2x=tfrac1+cos2x2. Assim, f(x)=tfrac12+tfrac12cos2x, somando uma constante com um cosseno de argumento 2x.

Passo 3

Lembramos que a derivada de ordem n de cos(ax) é dada por d^ndx^ncos(ax)=a^ncosl(ax+tfracnpi2r). Isso vem de aplicar a regra da cadeia n vezes e usar as derivadas de cos e sin.

Passo 4

Como a constante tfrac12 some para n>=1, a parte relevante é tfrac12cos2x. Logo, para n>=1
f^(n)(x)=tfrac12cdot2^ncosl(2x+tfracnpi2r)=2^n-1cosl(2x+tfracnpi2r)

Passo 5

Para n=10, basta avaliar em x=0:
f^(10)(0)=2^9cosl(2cdot0+tfrac10pi2r)=512cos(5pi)=512cdot(-1)=-512

Resposta

A derivada de ordem n para n>=1 é f^(n)(x)=2^n-1cosl(2x+tfracnpi2r), e f^(10)(0)=-512.

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