Faça o mapa de contornos de
para
.
Passo 1
O exercício pede o mapa de contornos (ou curvas de nível) da função f(x,y)=y e^x para os valores k=-2,-1,1,2. Vamos usar o conceito de curva de nível, que é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.
Passo 2
Para cada valor de k, escrevemos a condição da curva de nível:
f(x,y)=k implica y e^x = k.
Como e^x é sempre positivo, podemos isolar y dividindo ambos os lados por e^x:
y = k e^{-x}.
Isso mostra que as curvas de nível são gráficos de funções exponenciais y=k e^{-x}. Quando k>0, y>0 e a curva decresce com x, tendendo a zero; quando k<0, y<0 e o comportamento é análogo abaixo do eixo x.
f(x,y)=k implica y e^x = k.
Como e^x é sempre positivo, podemos isolar y dividindo ambos os lados por e^x:
y = k e^{-x}.
Isso mostra que as curvas de nível são gráficos de funções exponenciais y=k e^{-x}. Quando k>0, y>0 e a curva decresce com x, tendendo a zero; quando k<0, y<0 e o comportamento é análogo abaixo do eixo x.
Passo 3
Para k=1 e k=2 teremos duas curvas acima do eixo x (sendo k=2 mais elevada), e para k=-1 e k=-2 duas curvas simétricas abaixo do eixo x (sendo k=-2 mais afastada do eixo).
Resposta
As curvas de nível são dadas por