Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de $ y e^{-x y} $ sobre a região $ R $ que vai de $ x = 1 $ a $ x = 2 $ e de $ y = 0 $ a $ y = 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e usar as regras de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. A região $ R $ está definida como $ 1 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq 3 $. Podemos integrar em relação a $ y $ primeiro e depois em relação a $ x $:
Passo 3
Vamos focar na integral interna, que é em relação a $ y $:
Para resolver isso, precisamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de $ y $ de 0 a 3 na expressão que encontramos:
Calculando para $ y = 3 $:
E para $ y = 0 $:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, temos a expressão resultante da integral interna. Vamos simplificar:
Fatorando $ e^{-3x} $:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a $ x $:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então podemos deixar a resposta em termos de integrais especiais ou usar métodos numéricos para aproximar o valor. Para simplificar, vamos expressar a resposta final combinando os resultados obtidos.
Resposta
A integral calculada é:
Este é o resultado final da integral dupla solicitada.