Calcule a integral.
integral duplaR y e^-x y d A, R=[1,2] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de $ y e^{-x y} $ sobre a região $ R $ que vai de $ x = 1 $ a $ x = 2 $ e de $ y = 0 $ a $ y = 3 $. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e usar as regras de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. A região $ R $ está definida como $ 1 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq 3 $. Podemos integrar em relação a $ y $ primeiro e depois em relação a $ x $:
R

Passo 3

Vamos focar na integral interna, que é em relação a $ y $:
y
Para resolver isso, precisamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral0^3 y e^-x y , dy
Vamos escolher:
integral u , dv = u v - integral v , du
u = y Rightarrow du = dy

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y e^-x y , dy = y ( -1 x e^-x y ) - integral ( -1 x e^-x y ) dy
Simplificando:
= -y x e^-x y + 1 x integral e^-x y dy

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral e^-x y dy = -1 x e^-x y + C
Substituindo de volta:
-y x e^-x y + 1 x ( -1 x e^-x y ) = -y x e^-x y - 1 x^2 e^-x y

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de $ y $ de 0 a 3 na expressão que encontramos:
y
Calculando para $ y = 3 $:
[ -y x e^-x y - 1 x^2 e^-x y ]0^3
E para $ y = 0 $:
y = 3
Subtraindo:
-3 x e^-3x - 1 x^2 e^-3x

Passo 7

Agora, temos a expressão resultante da integral interna. Vamos simplificar:
= 1x^2 - 3x e^-3x - 1x^2 e^-3x
Fatorando $ e^{-3x} $:
e^-3x

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a $ x $:
x
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral1^2 ( 1x^2 - e^-3x ( 3x + 1x^2 ) ) dx

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
[ -1x ]1^2 = -12 - (-1) = 12

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1^2 e^-3x ( 3x + 1x^2 ) dx
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, então podemos deixar a resposta em termos de integrais especiais ou usar métodos numéricos para aproximar o valor. Para simplificar, vamos expressar a resposta final combinando os resultados obtidos.

Resposta

A integral calculada é:
12 - integral1^2 e^-3x ( 3x + 1x^2 ) dx
Este é o resultado final da integral dupla solicitada.

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