Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs, que são equações que relacionam uma função desconhecida $ y $ com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações e aplicar substituições que simplifiquem o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $. Fazendo isso, temos:
Dividindo ambos os lados por $ 2xy + y^{2} $, fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa fração. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos em $ y^{2} $. Podemos fatorar $ y^{2} $ no denominador:
Passo 4
Perceba que a equação é homogênea, pois todos os termos são de mesmo grau. Para resolver, podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $, onde $ y = v x $. Então, a derivada $ y’ $ fica:
Passo 5
Substituindo $ y = v x $ e $ y’ = v + x \frac{dv}{dx} $ na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos isolar $ \frac{dv}{dx} $:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ x $:
Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado direito é simples:
Passo 9
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos simplificar a expressão:
Podemos tentar fatorar o denominador ou usar substituições para facilitar a integração. Supondo que conseguimos integrar, vamos chamar a integral de $ F(v) $.
Passo 10
Após integrar, obtemos:
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $, temos a relação geral entre $ y $ e $ x $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde $ C $ é a constante de integração.