Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Aqui, estamos lidando com uma EDO que relaciona a derivada de $ y $ em relação a $ x $ com uma fração envolvendo $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar a resolução. Vamos definir:
Isso porque tanto no numerador quanto no denominador da nossa EDO aparece a combinação $ x + 2y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Substituindo $ y’ $ pela expressão da EDO:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão acima:
Para somar as frações, trazemos para um denominador comum:
Passo 5
Agora, reorganizamos a equação para separar as variáveis $ u $ e $ x $:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados da equação:
Para resolver a integral da esquerda, fazemos uma substituição:
Seja $ w = 4u + 1 $, então $ dw = 4 du $ ou $ du = \frac{dw}{4} $.
Expressando $ 2u + 1 $ em termos de $ w $:
Substituindo na integral:
Voltando para $ u $:
Passo 7
Agora, lembrando que $ u = x + 2y + 1 $, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 8 para simplificar:
Onde $ C’ = 8C $ é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução implícita da EDO é:
Onde $ C $ é uma constante de integração.