Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime=x+2 y+12 x+4 y+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
y' = x + 2y + 12x + 4y + 3
Aqui, estamos lidando com uma EDO que relaciona a derivada de $ y $ em relação a $ x $ com uma fração envolvendo $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar a resolução. Vamos definir:
u = x + 2y + 1
Isso porque tanto no numerador quanto no denominador da nossa EDO aparece a combinação $ x + 2y $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Substituindo $ y’ $ pela expressão da EDO:
x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão acima:
dudx = 1 + 2u2u + 1
Para somar as frações, trazemos para um denominador comum:
dudx = (2u + 1) + 2u2u + 1 = 4u + 12u + 1

Passo 5

Agora, reorganizamos a equação para separar as variáveis $ u $ e $ x $:
u
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral 2u + 14u + 1 du = integral dx
Para resolver a integral da esquerda, fazemos uma substituição:
Seja $ w = 4u + 1 $, então $ dw = 4 du $ ou $ du = \frac{dw}{4} $.
Expressando $ 2u + 1 $ em termos de $ w $:
w = 4u + 1
Substituindo na integral:
dw = 4 du
Voltando para $ u $:
du = dw4

Passo 7

Agora, lembrando que $ u = x + 2y + 1 $, substituímos de volta:
u = x + 2y + 1
Multiplicando ambos os lados por 8 para simplificar:
18 (4(x + 2y + 1) + 1 + ln|4(x + 2y + 1)|) = x + C
Onde $ C’ = 8C $ é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita da EDO é:
4(x + 2y + 1) + ln|4(x + 2y + 1)| = 8x + C
Onde $ C $ é uma constante de integração.

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