Em cada item a seguir, resolva a EDO.
x^2+3 x y+y^2-x^2 y^prime=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
x^2 + 3xy + y^2 - x^2y' = 0,
que é homogênea de grau 2 em y. Vamos resolver usando a substituição típica para equações homogêneas v = y/x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y' = dfracdydx isolando na equação:
y' = x^2 + 3xy + y^2x^2 = 1 + 3yx + l(yxr)^2
Essa forma confirma que é função de y/x.

Passo 3

Fazendo a substituição y = vx, ou seja, v = y/x. Então
y' = v + xdvdx
Isso nos permite transformar a EDO em termo de v e x.

Passo 4

Substituindo em y' = 1 + 3v + v^2 temos:
v + xdvdx = 1 + 3v + v^2 Longrightarrow xdvdx = (v+1)^2
Agora é uma equação separável.

Passo 5

Separamos as variáveis e integramos:
$$\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
dv(v+1)^2 = dxx -\frac{1}{v+1} = \ln|x| + C. $$

Passo 6

Voltando a v = y/x e reescrevendo, temos
-1yx + 1 = ln|x| + C Longrightarrow -xx+y = ln|x| + C
Podemos rearranjar para a forma implícita final:

Resposta

ln|x| + xx+y = C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados