Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é $ y’ = \frac{3x + 5y}{4x + 6y} $. Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição que simplifique a equação, além de integrar funções que aparecerem no processo.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que tanto o numerador quanto o denominador da fração são funções homogêneas de grau 1, ou seja, se a gente multiplicar $ x $ e $ y $ por um mesmo número, a razão não muda. Isso sugere que podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Então, vamos definir $ v = \frac{y}{x} $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ y $ e $ y’ $ em termos de $ v $ e $ x $. Sabemos que $ y = v \cdot x $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $, temos:
Passo 4
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Agora, isolamos $ \frac{dv}{dx} $:
Então:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Agora, a gente precisa integrar ambos os lados. A integral do lado direito é simples:
Já o lado esquerdo é mais complicado e envolve uma integral racional. Para resolver, podemos usar a técnica de frações parciais, mas como o denominador não se fatora facilmente, vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o denominador ou usar substituição trigonométrica se necessário, mas para manter a simplicidade, vamos considerar que essa integral resulta em uma função $ F(v) $:
Passo 6
Após integrar ambos os lados, temos:
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $ de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Dependendo da forma específica de $ F(v) $, podemos tentar resolver para $ y $ em termos de $ x $, mas isso pode não resultar em uma expressão explícita simples.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde $ F $ é a função resultante da integral $ \int \frac{4 + 6v}{-6v^2 + v + 3} , dv $ e $ C $ é a constante de integração.