Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
integral0^1 / 2 d xx ln ^2 x

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral0^1/2 dxx,ln^2 x
O conteúdo é integrais impróprias e vamos usar substituição para verificar convergência e calcular o valor.

Passo 2

Para lidar com o ponto impróprio em x→0+, fazemos a substituição
u = ln x Rightarrow du = dxx
Além disso, note que
ln^2 x = u^2, então
dxx,ln^2 x = duu^2

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração:
quando x→0+ temos u=\ln x→-∞,
quando x=1/2 temos u=\ln(1/2)=-\ln2.
Então a integral vira
integral0^1/2dxx,ln^2 x=integralu=-infty^u=-ln2duu^2

Passo 4

Integramos
integral duu^2 = -1u + C

Passo 5

Avaliaremos no intervalo [-infty,-ln2]:
-1u|u=-infty^u=-ln2 = l(-1-ln2r) - l(-1-inftyr) = 1ln2 - 0 = 1ln2
Como não há divergência, a integral converge e vale o resultado abaixo.

Resposta

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