Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
Passo 1
Temos a integral imprópria
O conteúdo é integrais impróprias e vamos usar substituição para verificar convergência e calcular o valor.
Passo 2
Para lidar com o ponto impróprio em x→0+, fazemos a substituição
Além disso, note que
, então
Passo 3
Agora ajustamos os limites de integração:
quando x→0+ temos u=\ln x→-∞,
quando x=1/2 temos u=\ln(1/2)=-\ln2.
Então a integral vira
quando x→0+ temos u=\ln x→-∞,
quando x=1/2 temos u=\ln(1/2)=-\ln2.
Então a integral vira
Passo 4
Integramos
Passo 5
Avaliaremos no intervalo
:
Como não há divergência, a integral converge e vale o resultado abaixo.