Em cada item a seguir, resolva a EDO.
3 x-y+2+(9 x-3 y+1) y^prime=0

Passo 1

A equação dada é
(3x - y + 2) + (9x - 3y + 1)y' = 0,
o que em forma diferencial fica
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com
M = 3x - y + 2,
N = 9x - 3y + 1
Isso não é exata, pois My = -1 e Nx = 9, então vamos buscar um fator integrante do tipo mu = e^ax + by.

Passo 2

Para mu=e^ax+by a condição de exatidão passa a ser
My + bM = Nx + aN
Substituindo My=-1, Nx=9, M=3x-y+2 e N=9x-3y+1, obtemos
-1 + b(3x - y + 2) = 9 + a(9x - 3y + 1)
Igualando coeficientes de x, y e constantes, resolve-se
b = 3a,
3b - a = 10 ,Rightarrow, a = 2, b = 6

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
mu = e^2x + 6y
ficando
(3x - y + 2)e^2x+6y,dx + (9x - 3y + 1)e^2x+6y,dy = 0,
que agora é exata.

Passo 4

Para resolver, procuramos uma função Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = (3x - y + 2)e^2x+6y
Integrando em relação a x (tratando y como constante):
Phi(x,y) = integral (3x - y + 2)e^2x+6y,dx = 3x - y + tfrac122,e^2x+6y + h(y)

Passo 5

Agora impomos
partial Phipartial y = (9x - 3y + 1)e^2x+6y
Da derivada parcial de Phi obtém-se exatamente esse termo, o que mostra que h'(y)=0. Logo
Phi(x,y) = 3x - y + tfrac122,e^2x+6y = C
Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos a forma mais simples:

Passo 6

final_answer

Passo 7

resultado final

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