Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com EDOs. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação algébrica. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos dividir ambos os lados da equação por $ e{-\frac{y{2}}{x}} $ para eliminar o termo exponencial do lado direito:
Mas isso ainda está bastante complicado. Então, vamos tentar uma substituição que possa simplificar a expressão. Vamos definir uma nova variável $ u $ como:
Passo 3
Com essa substituição, podemos expressar $ y $ em termos de $ u $ e $ x $:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y^{\prime} $ na equação original com a expressão que encontramos:
Sabemos que $ y^{2} = u x $, então $ x - y^{2} = x - u x = x(1 - u) $. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados por $ 2y $ para eliminar o denominador:
Observe que $ y \cdot y = y^{2} = u x $, então $ 2y \cdot \frac{y}{x} = 2u $. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos isolar o termo que envolve $ \frac{du}{dx} $:
Simplificando a direita:
Passo 7
Vamos dividir ambos os lados por $ x $ para deixar $ \frac{du}{dx} $ sozinho:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ u $ em termos de $ x $. Infelizmente, essa equação não é facilmente solucionável por métodos elementares e pode requerer técnicas avançadas ou métodos numéricos para encontrar uma solução explícita.
Resposta
Portanto, a solução da EDO não pode ser expressa em termos de funções elementares e requer métodos avançados para ser resolvida completamente.