Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime=x-y^2y e^-y^2x+yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é a seguinte:
y^prime = x - y^2y e^-y^2x + yx
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com EDOs. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação algébrica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos dividir ambos os lados da equação por $ e{-\frac{y{2}}{x}} $ para eliminar o termo exponencial do lado direito:
e^-y^2x
Mas isso ainda está bastante complicado. Então, vamos tentar uma substituição que possa simplificar a expressão. Vamos definir uma nova variável $ u $ como:
y^primee^-y^2x = x - y^2y + yx e^y^2x

Passo 3

Com essa substituição, podemos expressar $ y $ em termos de $ u $ e $ x $:
y
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $:
u
Isso nos dá:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y^{\prime} $ na equação original com a expressão que encontramos:
y^prime
Sabemos que $ y^{2} = u x $, então $ x - y^{2} = x - u x = x(1 - u) $. Substituindo isso na equação:
u + x cdot dudx2y = x - y^2y e^-u + yx

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados por $ 2y $ para eliminar o denominador:
2y
Observe que $ y \cdot y = y^{2} = u x $, então $ 2y \cdot \frac{y}{x} = 2u $. Substituindo:
u + x cdot dudx = 2x(1 - u)e^-u + 2y cdot yx

Passo 6

Agora, vamos isolar o termo que envolve $ \frac{du}{dx} $:
dudx
Simplificando a direita:
x cdot dudx = 2x(1 - u)e^-u + 2u - u

Passo 7

Vamos dividir ambos os lados por $ x $ para deixar $ \frac{du}{dx} $ sozinho:
x
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ u $ em termos de $ x $. Infelizmente, essa equação não é facilmente solucionável por métodos elementares e pode requerer técnicas avançadas ou métodos numéricos para encontrar uma solução explícita.

Resposta

Portanto, a solução da EDO não pode ser expressa em termos de funções elementares e requer métodos avançados para ser resolvida completamente.

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