Resolva o PVI:
ly^prime=x^2+3 y^22 x y y(-1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'=x^2+3y^22xy com condição y(-1)=1. O conteúdo que vamos usar envolve mudança de variável para transformar a equação numérica numa equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a derivada de forma mais manejável:
y'=x^2+3y^22xy=x2y+3y2x

Passo 3

Perceba que, se definirmos u=y^2, então
dudx=2ydydx

Passo 4

Substituindo y' em expressões de u, obtemos
dudx=2yl(x^2+3y^22xyr)=x^2+3y^2x=x+3y^2x=x+3ux

Passo 5

Essa é uma equação linear em u:
dudx-3xu=x

Passo 6

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral-3xdxr)=x^-3

Passo 7

Multiplicando a equação por x^-3 temos
$$\frac{d}{dx}\bigl(x{-3}u\bigr)=x{-2}.
$$

Passo 8

Integrando dos dois lados:
x^-3u=integral x^-2dx=-x^-1+C

Passo 9

Voltando em u=y^2:
y^2=x^3(-x^-1+C)=-x^2+Cx^3=x^2(Cx-1)

Passo 10

Agora aplicamos y(-1)=1:
1^2=(-1)^2(Ccdot(-1)-1)implies1=-C-1implies C=-2

Passo 11

Logo
y^2=x^2(-2x-1)

Passo 12

Como y(-1)=1>0, escolhemos o ramo que torna y(-1) positivo:
y(x)=-xraiz-2x-1,com x<=-tfrac12

Resposta

y(x)=-xraiz-2x-1, x<=-tfrac12

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