Em cada item a seguir, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, que é assim:
O objetivo é resolver essa EDO, ou seja, encontrar uma expressão para $ y $ em função de $ x $. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis $ y $ e $ x $. A EDO dada é:
Para separar $ y $ e $ x $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ y + e^{y} $:
Agora, temos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ de outro lado, prontos para serem integrados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
Vamos resolver cada integral:
- Integral do lado esquerdo:
- Integral do lado direito:
Adicionamos a constante de integração $ C $ do lado direito:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é a constante de integração.