Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime=x^2y+e^y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, que é assim:
y^prime = x^2y + e^y
O objetivo é resolver essa EDO, ou seja, encontrar uma expressão para $ y $ em função de $ x $. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis $ y $ e $ x $. A EDO dada é:
y
Para separar $ y $ e $ x $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ y + e^{y} $:
x
Agora, temos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ de outro lado, prontos para serem integrados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
integral (y + e^y) , dy = integral x^2 , dx
Vamos resolver cada integral:
  1. Integral do lado esquerdo:
integral y , dy + integral e^y , dy = 12 y^2 + e^y
  1. Integral do lado direito:
integral x^2 , dx = 13 x^3
Adicionamos a constante de integração $ C $ do lado direito:
C

Resposta

A solução geral da EDO é:
12 y^2 + e^y = 13 x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Exercícios relacionados