Determine o valor da integral iterada , onde , com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral iterada , onde a região é definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície sobre uma região no plano . No nosso caso, a função é e a região é um retângulo definido pelos limites de e .
Passo 3
Como a região é um retângulo simples, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos focar na integral interna: . Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Observe que é tratado como uma constante nessa parte da integração.
Podemos reescrever a fração da seguinte forma:
Isso nos lembra da derivada da função arctangente.
Passo 5
Sabemos que a integral de em relação a é . Aplicando isso na nossa substituição, onde e , ajustamos a integral:
Passo 6
Voltando à nossa integral interna, aplicamos os limites de de 0 a 1:
Como , simplificamos para:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos definir:
Calculando as derivadas e integrais correspondentes:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes, $ \int u , dv = uv - \int v , du $: