Determine o valor da integral iterada integralegral duplaR x^2y^2+x^2 d y d x, onde R=(x, y) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1, com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral iterada integral duplaR x^2y^2+x^2 , dy , dx, onde a região R é definida por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Para isso, vamos usar conceitos de integrais duplas e integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície z = f(x, y) sobre uma região R no plano xy. No nosso caso, a função é f(x, y) = x^2y^2+x^2 e a região R é um retângulo definido pelos limites de x e y.

Passo 3

Como a região R é um retângulo simples, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos começar integrando em relação a y:
integral1^2 ( integral0^1 x^2y^2+x^2 , dy ) dx

Passo 4

Agora, vamos focar na integral interna: integral0^1 x^2y^2+x^2 , dy. Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Observe que x é tratado como uma constante nessa parte da integração.
Podemos reescrever a fração da seguinte forma:
x^2y^2+x^2 = 11 + (yx)^2
Isso nos lembra da derivada da função arctangente.

Passo 5

Sabemos que a integral de 11 + u^2 em relação a u é arctan(u). Aplicando isso na nossa substituição, onde u = yx e du = 1x dy, ajustamos a integral:
integral 11 + (yx)^2 cdot 1x , dy = arctan(yx) + C

Passo 6

Voltando à nossa integral interna, aplicamos os limites de y de 0 a 1:
integral0^1 x^2y^2+x^2 , dy = x [ arctan(1x) - arctan(0) ]
Como arctan(0) = 0, simplificamos para:
x cdot arctan(1x)

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 x cdot arctan(1x) , dx
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos definir:
u = arctan(1x) e dv = x , dx
Calculando as derivadas e integrais correspondentes:
du = -1x^2 + 1 cdot 1x^2 , dx e v = x^22

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes, $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Simplificando:
x^22 cdot arctan(1x) g|1^2 - integral1^2 x^22 cdot (-1x^2(x^2 + 1)) , dx

Passo 9

Vamos calcular cada parte:
  1. Avaliando x^22 cdot arctan(1x) de 1 a 2:
2^22 cdot arctan(12) - 1^22 cdot arctan(1) = 2 cdot arctan(12) - pi8
  1. Calculando a integral restante:
12 integral1^2 1x^2 + 1 , dx = 12 [ arctan(x) ]1^2 = 12 ( arctan(2) - pi4 )

Passo 10

Somando as duas partes:
2 cdot arctan(12) - pi8 + 12 arctan(2) - pi8 = 2 cdot arctan(12) + 12 arctan(2) - pi4
Usando valores aproximados das funções arctangente:
arctan(12) approx 0,464 e arctan(2) approx 1,107
Substituindo:
2 cdot 0,464 + 12 cdot 1,107 - pi4 approx 0,928 + 0,554 - 0,785 approx 0,697

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 0,697.

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