Seja o campo vetorial:
E a curva
parametrizada por:
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão nos dá um campo vetorial
e uma curva parametrizada por
para
. Nosso objetivo é calcular a integral de linha
ao longo dessa curva
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso facilita muito o cálculo da integral, porque podemos usar apenas os valores da função potencial nos pontos inicial e final.
Para conferir se
é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de suas componentes satisfazem a condição:
Onde
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo
é realmente conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Sabemos que
, então:
Isso significa que
é uma constante. Podemos simplificar e definir
.
Passo 6
Então, a função potencial é:
Agora, para calcular a integral de linha
, basta calcular
no ponto final da curva menos
no ponto inicial.
Passo 7
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva
usando a parametrização
.
Para
:
Para
:
Então, o ponto inicial é
e o ponto final é
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
nesses pontos.
Para o ponto final
:
Para o ponto inicial
:
Passo 9
Finalmente, a integral de linha é a diferença entre
no ponto final e
no ponto inicial:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a
.