Seja o campo vetorial:
F(x, y)=lang<= x^2 y^3, x^3 y^2rang<=
E a curva r(t) parametrizada por:
r(t)=(t^3-2 t, t^3+2 t), 0 <= t <= 1
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão nos dá um campo vetorial F(x, y) = lang<= x^2 y^3, x^3 y^2 rang<= e uma curva parametrizada por r(t) = (t^3 - 2t, t^3 + 2t) para 0 <= t <= 1. Nosso objetivo é calcular a integral de linha integralC F cdot dr ao longo dessa curva C.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que nabla phi = F. Isso facilita muito o cálculo da integral, porque podemos usar apenas os valores da função potencial nos pontos inicial e final.
Para conferir se F é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais de suas componentes satisfazem a condição:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Onde F = lang<= P, Q rang<=.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
P = x^2 y^3 Q = x^3 y^2 partial Ppartial y = 3x^2 y^2 partial Qpartial x = 3x^2 y^2
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é realmente conservativo. Isso significa que existe uma função potencial phi(x, y) tal que nabla phi = F.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = P = x^2 y^3
Para encontrar phi, integramos P em relação a x:
phi(x, y) = integral x^2 y^3 , dx = x^33 y^3 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que surge da constante de integração.

Passo 5

Para determinar h(y), derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y = x^33 cdot 3y^2 + h'(y) = x^3 y^2 + h'(y)
Sabemos que partial phipartial y = Q = x^3 y^2, então:
x^3 y^2 + h'(y) = x^3 y^2 Rightarrow h'(y) = 0
Isso significa que h(y) é uma constante. Podemos simplificar e definir h(y) = 0.

Passo 6

Então, a função potencial é:
phi(x, y) = x^33 y^3
Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, basta calcular phi no ponto final da curva menos phi no ponto inicial.

Passo 7

Vamos identificar os pontos inicial e final da curva C usando a parametrização r(t).
Para t = 0:
r(0) = (0^3 - 2 cdot 0, 0^3 + 2 cdot 0) = (0, 0)
Para t = 1:
r(1) = (1^3 - 2 cdot 1, 1^3 + 2 cdot 1) = (-1, 3)
Então, o ponto inicial é (0, 0) e o ponto final é (-1, 3).

Passo 8

Agora, vamos calcular phi nesses pontos.
Para o ponto final (-1, 3):
phi(-1, 3) = (-1)^33 cdot 3^3 = -13 cdot 27 = -9
Para o ponto inicial (0, 0):
phi(0, 0) = 0^33 cdot 0^3 = 0

Passo 9

Finalmente, a integral de linha é a diferença entre phi no ponto final e phi no ponto inicial:
integralC F cdot dr = phi(-1, 3) - phi(0, 0) = -9 - 0 = -9

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr ao longo da curva C é igual a -9.

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