Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
integral0^1 d xraizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral imprópria integral0^1 dxraizx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde lidamos com integrais que podem ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como funções que ficam infinitas ou intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e funções de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como integrar funções do tipo x^n. A regra básica é que integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Mas atenção: isso é válido se n neq -1. No nosso caso, temos 1raizx = x^-1/2, então n = -12, que não é igual a -1. Então, essa regra podemos aplicar sim.

Passo 3

Agora, como a integral vai de 0 a 1 e a função 1raizx tende ao infinito quando x se aproxima de 0, essa é uma integral imprópria. Para calcular, a gente transforma a integral em um limite. Ou seja:
integral0^1 dxraizx = lima to 0^+ integrala^1 x^-1/2 dx
Isso nos ajuda a evitar problemas no ponto onde a função fica infinita.

Passo 4

Vamos calcular a integral definida de x^-1/2 de a a 1:
integrala^1 x^-1/2 dx = [ x^(-1/2)+1(-1/2)+1 ]a^1 = [ x^1/21/2 ]a^1 = 2 [ x^1/2 ]a^1
Agora, avaliamos nos limites:
2 [ raiz1 - raiza ] = 2 (1 - raiza)

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando a se aproxima de 0:
lima to 0^+ 2 (1 - raiza) = 2 (1 - 0) = 2

Resposta

A integral imprópria integral0^1 dxraizx converge e seu valor é igual a 2.

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