Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral imprópria
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde lidamos com integrais que podem ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como funções que ficam infinitas ou intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e funções de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como integrar funções do tipo
. A regra básica é que
, onde
é a constante de integração. Mas atenção: isso é válido se
. No nosso caso, temos
, então
, que não é igual a
. Então, essa regra podemos aplicar sim.
Passo 3
Agora, como a integral vai de 0 a 1 e a função
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, essa é uma integral imprópria. Para calcular, a gente transforma a integral em um limite. Ou seja:
Isso nos ajuda a evitar problemas no ponto onde a função fica infinita.
Passo 4
Vamos calcular a integral definida de
de
a 1:
Agora, avaliamos nos limites:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é igual a 2.