Em cada item a seguir, resolva a EDO.
2 x y^prime=-x-4 y

Passo 1

Temos a EDO 2x y′ = –x – 4y. Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos primeiro reescrever na forma padrão dy/dx + P(x)y = Q(x) e depois usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 2x (supondo x ≠ 0) para isolar dy/dx. Assim obtemos:
dydx = -x2x - 4y2x = -tfrac12 - 2yx,
que podemos reescrever como
dydx + 2x,y = -tfrac12

Passo 3

Aqui P(x)=2/x e Q(x)=–1/2. Agora calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x dx = e^2ln|x| = x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por µ(x)=x^2. Isso dá
x^2dydx + 2x,y = -tfrac12,x^2

Passo 5

Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2 y, ou seja,
ddxl(x^2 yr) = -tfrac12,x^2

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2 y = integral -tfrac12,x^2 dx = -tfrac12cdot x^33 + C = -x^36 + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolamos y dividindo por x^2:

Resposta

y(x) = -x6 + Cx^-2

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