Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime+y^2 sen(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem separável
Conteúdo: separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.
Vamos usar que, em uma equação da forma y′=f(x)g(y), podemos escrever dy/g(y)=f(x)dx e integrar dos dois lados.

Passo 2

Escrevemos a derivada e isolamos os termos em y de um lado e x do outro:
Temos y′+y²\operatorname{sen}(x)=0, ou seja
dydx=-y^2sin(x)
Logo
dyy^2=-sin(x),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy=integral -sin(x),dx
Do lado esquerdo fica
integral y^-2,dy=-y^-1=-1y,
e do direito
integral -sin(x),dx=cos(x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Chegamos a
-1y=cos(x)+C
Multiplicando por -1:
1y=-cos(x)-C=C'-cos(x),
onde C’=-C. Portanto
y=1C'-cos(x)

Resposta

A solução geral é y(x)=1/(C-\cos(x)), onde C é constante arbitrária.

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