Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial linear de primeira ordem
Conteúdo: equação diferencial linear, fator integrante e existência de solução. Vamos precisar de conhecimentos sobre forma padrão, cálculo de fator integrante e propriedades de funções contínuas para garantir a existência.
Conteúdo: equação diferencial linear, fator integrante e existência de solução. Vamos precisar de conhecimentos sobre forma padrão, cálculo de fator integrante e propriedades de funções contínuas para garantir a existência.
Passo 2
Primeiro colocamos a ODE na forma padrão y′+P(x)y=Q(x). A equação original é
Dividindo tudo por x (supondo x≠0) obtemos
Aqui P(x)=\frac{x+1}{x} e Q(x)=1.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
dado por
válido para x>0 ou x<0. Como o ponto inicial é x=\ln2>0, vamos considerar o domínio x>0.
Passo 4
Multiplicamos a ODE padronizada por
:
O lado esquerdo é derivada do produto:
Integramos ambos os lados:
Logo
y(x)=\frac{e^x(x-1)+C}{x ex}=\frac{x-1}{x}+\frac{C}{x}e{-x}.
Passo 5
Usamos a condição inicial y(\ln2)=1. Substituindo x=\ln2 e y=1:
Multiplicando por
e isolando C dá C=2. Assim a solução particular é
$$y(x)=\frac{x-1+2e^{-x}}{x},\quad x>0.
$$
Como a ODE tem coeficientes contínuos em x>0, existe solução única nesse intervalo que contém x=\ln2.
Como a ODE tem coeficientes contínuos em x>0, existe solução única nesse intervalo que contém x=\ln2.