Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
x y^prime+(x+1) y=x y(ln (2))=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial linear de primeira ordem
Conteúdo: equação diferencial linear, fator integrante e existência de solução. Vamos precisar de conhecimentos sobre forma padrão, cálculo de fator integrante e propriedades de funções contínuas para garantir a existência.

Passo 2

Primeiro colocamos a ODE na forma padrão y′+P(x)y=Q(x). A equação original é
x,y+(x+1)y=x
Dividindo tudo por x (supondo x≠0) obtemos
y+x+1x,y=1
Aqui P(x)=\frac{x+1}{x} e Q(x)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) dado por
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integralx+1x,dxr)=expl(x+ln|x|r)=x,e^x,
válido para x>0 ou x<0. Como o ponto inicial é x=\ln2>0, vamos considerar o domínio x>0.

Passo 4

Multiplicamos a ODE padronizada por mu(x):
x e^x,y+l(x+1r)e^x,y= x e^x
O lado esquerdo é derivada do produto:
ddxl(x e^x yr)=x e^x
Integramos ambos os lados:
x e^x y=integral x e^x,dx + C=e^x(x-1)+C
Logo
y(x)=\frac{e^x(x-1)+C}{x ex}=\frac{x-1}{x}+\frac{C}{x}e{-x}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(\ln2)=1. Substituindo x=\ln2 e y=1:
1=ln2-1ln2+Cln2e^-ln2 =ln2-1ln2+C2ln2
Multiplicando por ln2 e isolando C dá C=2. Assim a solução particular é
$$y(x)=\frac{x-1+2e^{-x}}{x},\quad x>0.
$$
Como a ODE tem coeficientes contínuos em x>0, existe solução única nesse intervalo que contém x=\ln2.

Resposta

y(x)=dfracx-1+2e^-xx, x>0

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