O comprimento da curva y=1-ln (cos x), 0 <= x <= pi / 4, é numericamente igual a: (Escreva resposta com erro inferior a 0,01 )
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o comprimento da curva dada por $ y = 1 - \ln(\cos x) $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre $ a $ e $ b $:
y = f(x)
Isso significa que vamos integrar a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
A derivada de $ \ln(\cos x) $ é $ \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x $, então:
x

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
L = integral0^pi4 raiz1 + (tan x)^2 , dx
Sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, então:
1 + tan^2 x = sec^2 x

Passo 5

A integral de $ \sec x $ é conhecida:
sec x
Aplicando os limites de integração:
integral sec x , dx = ln|sec x + tan x| + C

Passo 6

Vamos calcular nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
x = pi4
Então:
sec(pi4) = raiz2, tan(pi4) = 1
Para $ x = 0 $:
ln(raiz2 + 1)
Então:
x = 0

Passo 7

Subtraindo os valores:
L = ln(raiz2 + 1) - 0 = ln(raiz2 + 1)
Agora, vamos calcular numericamente:
ln(raiz2 + 1) approx ln(2.4142) approx 0.8814

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente $ 0,88 $.

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