O comprimento da curva
, é numericamente igual a: (Escreva resposta com erro inferior a 0,01 )
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o comprimento da curva dada por $ y = 1 - \ln(\cos x) $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre $ a $ e $ b $:
Isso significa que vamos integrar a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
A derivada de $ \ln(\cos x) $ é $ \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x $, então:
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
Sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, então:
Passo 5
A integral de $ \sec x $ é conhecida:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Vamos calcular nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
Então:
Para $ x = 0 $:
Então:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Agora, vamos calcular numericamente:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente $ 0,88 $.