Resolva as integrais abaixo:
integral xarctg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x cdot arctan(x) , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar duas partes da função que vamos chamar de u e dv, seguindo a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de maneira que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = arctan(x) e dv = x , dx
Agora, precisamos calcular du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx arctan(x) , dx = 11 + x^2 , dx
E integrando dv para encontrar v:
v = integral x , dx = x^22

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot arctan(x) , dx = u cdot v - integral v , du = arctan(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx
Simplificando a integral restante:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar x^21 + x^2:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2
Então, a integral fica:
12 integral (1 - 11 + x^2) dx = 12 ( integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx )

Passo 7

Calculando as integrais:
integral 1 , dx = x e integral 11 + x^2 , dx = arctan(x)
Portanto:
12 ( x - arctan(x) )

Passo 8

Voltando à expressão da integração por partes:
integral x cdot arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - 12 ( x - arctan(x) ) + C
Simplificando:
x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C
Podemos juntar os termos com arctan(x):
( x^22 + 12 ) arctan(x) - x2 + C

Resposta

A integral integral x cdot arctan(x) , dx é igual a:
( x^22 + 12 ) arctan(x) - x2 + C
onde C é a constante de integração.

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