Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
y^prime-y=2 x e^2 x y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y'-y=2x e^2x,;y(0)=1. Esse é um caso de EDO linear de 1ª ordem, em que vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Calculamos o fator integrante e a solução geral. Primeiro, em forma padrão y'-y=2x e^2x, temos p(x)=-1 e q(x)=2x e^2x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral(-1),dx=e^-x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtenho
e^-xy' - e^-xy = 2x e^2xe^-x = 2x e^x,
o que é exatamente
ddxl(e^-xyr)=2x e^x
Integrando,
e^-xy=integral 2x e^x,dx + C = 2(x-1)e^x + C,
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y =e^xl[2(x-1)e^x + Cr] =2x e^2x-2e^2x+C e^x

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 em
y(0)=2cdot0,e^0-2e^0+C e^0=-2+C=1,
segue que C=3. Portanto a solução específica é
y(x)=2x e^2x-2e^2x+3e^x

Passo 4

Como os coeficientes p(x)=-1 e q(x)=2x e^2x são funções contínuas para todo xinR, pelo teorema de existência e unicidade a solução existe e é única em qualquer intervalo que contenha x=0, por exemplo ( -infty,infty).

Resposta

y(x)=2x e{2x}-2e{2x}+3e^x,\quadintervalo de existência(-\infty,\infty).

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