Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
. Esse é um caso de EDO linear de 1ª ordem, em que vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.
Passo 2
Calculamos o fator integrante e a solução geral. Primeiro, em forma padrão
, temos
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtenho
o que é exatamente
Integrando,
logo
Passo 3
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
segue que
. Portanto a solução específica é
Passo 4
Como os coeficientes
e
são funções contínuas para todo
, pelo teorema de existência e unicidade a solução existe e é única em qualquer intervalo que contenha
, por exemplo
.
Resposta
y(x)=2x e{2x}-2e{2x}+3e^x,\quadintervalo de existência(-\infty,\infty).