Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
A gente tem o PVI
y’(x)+\frac{1}{x}y(x)=\frac{\cos(x)}{y(x)^2},
y(1)=1
Isso é uma equação de Bernoulli do tipo y’+P(x)y=Q(x)y^n com n=-2.
Passo 2
Para resolver uma Bernoulli com n\neq1, fazemos a troca z=y{1-n}=y{1-(-2)}=y^3. Derivando, z’=3y^2y’. Substituindo y’ da equação original:
y’=\frac{z’}{3y^2}
então
\frac{z’}{3y^2}+\frac{1}{x}y=\frac{\cos x}{y^2}.
Passo 3
Multiplicando tudo por 3y^2:
z’+3\frac{y^3}{x}=3\cos x
Mas y^3=z, então obtemos a equação linear
z’+\frac{3}{x}z=3\cos x.
Passo 4
O fator integrante é
μ(x)=\exp\Bigl(\int\frac{3}{x}dx\Bigr)=x^3.
Multiplicando a equação por x^3:
d(x3z)=3x3\cos x,dx.
Passo 5
Agora integramos o lado direito por partes para calcular
\int x^3\cos x,dx.
Fazendo duas vezes partes, chega-se a
\int x^3\cos x,dx=x^3\sin x+3x^2\cos x-6x\sin x-6\cos x + C_1.
Passo 6
Logo
x3z=3\bigl(x3\sin x+3x^2\cos x-6x\sin x-6\cos x\bigr)+C
e
Impondo y(1)=1:
13=\frac{3\sin1+9\cos1-18\sin1-18\cos1+C}{13}
resulta em C=1+15\sin1+9\cos1.
Passo 7
Portanto a solução explícita é
Como o termo
é contínuo em x≠0 e y≠0, pelo teorema de existência e unicidade a solução existe num intervalo contendo x=1, por exemplo em (0,\infty).