Calcule o comprimento de arco da curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de arco! O que a gente tem aqui é uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = t $ e $ y(t) = \frac{2(1 + t2){3/2}}{3} $, para $ 0 \leq t \leq 3 $. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva entre $ t = 0 $ e $ t = 3 $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ de uma curva paramétrica:
L
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Como $ x(t) = t $, a derivada é simples:
dxdt

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. A função dada é $ y(t) = \frac{2(1 + t2){3/2}}{3} $. Usando a regra da cadeia para derivação:
dydt

Passo 5

Substituindo $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ na fórmula do comprimento de arco:
dxdt
Simplificando dentro da raiz:
dydt

Passo 6

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela é um quadrado perfeito:
raiz4t^4 + 4t^2 + 1 = 2t^2 + 1
Então, a integral fica:
L = integral0^3 (2t^2 + 1) , dt

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
L = integral0^3 2t^2 , dt + integral0^3 1 , dt = [ 23t^3 ]0^3 + [ t ]0^3
Calculando os limites:
( 23 cdot 27 ) + (3 - 0) = 18 + 3 = 21

Resposta

O comprimento de arco da curva é 21 unidades.

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