Calcule o comprimento de arco da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de arco! O que a gente tem aqui é uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = t $ e $ y(t) = \frac{2(1 + t2){3/2}}{3} $, para $ 0 \leq t \leq 3 $. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva entre $ t = 0 $ e $ t = 3 $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ de uma curva paramétrica:
Aqui, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $. Como $ x(t) = t $, a derivada é simples:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $. A função dada é $ y(t) = \frac{2(1 + t2){3/2}}{3} $. Usando a regra da cadeia para derivação:
Passo 5
Substituindo $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela é um quadrado perfeito:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando os limites:
Resposta
O comprimento de arco da curva é 21 unidades.